2025届高考数学二轮专题复习与测试第二部分思想结论篇2.二级结论.docVIP

二级结论

高中数学中有一些结论，若在解题中利用得当，不仅可以简化解题的思考过程，而且还可以提高解题速度和准确度，尤其是在解答选择题、填空题时，记住这些常用的结论，可以帮你快速厘清数学中的诸多套路，节约大量的做题时间．

结论(一)函数的周期性

对函数f(x)定义域上任一自变量x：

(1)如果f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠0，b≠0，a≠b)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝b－a.

(2)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(3)如果f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(4)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

【巧用结论】

1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x0，,|2－x|，0≤x1，))其中a∈R.若f(－5)＝f(4.5)，则a的值为(C)

A．0.5 B．1.5

C．2.5 D．3.5

解析：因为f(x＋1)＝f(x－1)，由结论(1)得f(x)是周期为2的周期函数．又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，解得a＝2.5.

2．已知?x∈R，函数f(x)都满足f(x)·f(x＋4)＝1，又f(－1)＝2，则f(19)＝____________________．

解析：因为f(x)·f(x＋4)＝1，显然f(x)≠0，所以f(x＋4)＝eq\f(1,f（x）)，由结论(3)知函数f(x)是周期为8的周期函数，又f(－1)＝2，所以f(19)＝f(2×8＋3)＝f(3)＝eq\f(1,f（－1）)＝eq\f(1,2).

答案：eq\f(1,2)

结论(二)奇函数的性质

已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

【巧用结论】

1．已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋3，若f(m)＝2，则f(－m)＝(A)

A．4 B．5

C．7 D．－2

解析：构建函数g(x)＝f(x)－3＝ax3＋bsinx，因为g(－x)＝－ax3－bsinx＝－g(x)，所以g(x)在R上为奇函数，则g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)＋f(－m)－6＝0，则f(－m)＝4，故选A.

2．设函数f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．

解析：显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝eq\f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq\f(2x＋sinx,x2＋1).

设g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋m＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.

答案：2

结论(三)函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数：

(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称．

(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．

【巧用结论】

1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上单调递增，则有(B)

A．f(eq\f(1,4))f(－eq\f(1,4))f(eq\f(3,2))

B．f(－eq\f(1,4))f(eq\f(1,4))f(eq\f(3,2))

C．f(eq\f(1,4))f(eq\f(3,2))f(－eq\f(1,4))

D．f(－eq\f(1,4))f(eq\f(3,2))f(eq\f(1,4))

解析：由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上单调递增，故f(x)在[－1，0]上也单调递增．综上，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减．又f(eq\f(3,2)