例1变速直线运动的速度.pptVIP

公式也可写成公式还可推广到多次复合的情形.如y=f(u)，u=?(v),v=g(x),则01例6.求y=sin2x的导数添加标题02解：y=sin2x是由y=sinu，u=2x复合而成添加标题03按公式添加标题01例7.求y=(3x2+1)100的导数添加标题02解：y=u100，而u=3x2+1添加标题03由公式添加标题例8.解：例9.01解：02的导数.03例10.求y=x?，(x0,?实数)的导数解：y=e?lnx例11.求y=sinnx?sinnx的导数，n为常数.01解：02添加标题反函数求导法则添加标题下证添加标题即添加标题证：由于x=?(y)在Iy内严格单调、连续.从而它的反函数y=f(x)存在,并在Ix内有相同的单调性,同时,y=f(x)在Ix内连续.添加标题定理3.若x=?(y)在某区间Iy内严格单调,可导,??(y)≠0,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,且?x∈Ix,给改变量?x?0,相应的函数y=f(x)有改变量01020304由于x=?(y)和y=f(x)互为反函数，即，即?x也就是函数x=?(y)的改变量.因y=f(x)连续，故当?x?0时，?y?0，且??(y)?0例11.证明单击此处添加小标题证：y=arcsinx是x=siny的反函数.x=siny在单击此处添加小标题内单调，可导，且(siny)?=cosy?0,单击此处添加小标题所以在对应区间(?1,1)内，有例12.证明x=tgy在内单调，可导，且证：y=arctgx是x=tgy在上的反函数例13.设A解：B添加标题=01添加标题当x0且|x|a时03添加标题当x0且|x|a时02添加标题=04P106~P107四、导数公式表说明：公式12添加标题添加标题添加标题综合(1)、(2)有当x0时，当x0时，CBA公式17因为类似得公式18即(ax)=axlna特别，取a=e,则(ex)=ex例7.求y=logax的导数，其中a0,a?1,x0,并求y|x=1.01解：02特别，取a=e,则即从而由例2知,函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率，即k=f(x0).法线方程为一般,若f(x0)存在,则y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线方程为导数的几何意义3214特别，(i)当f(x0)=0时，即k=0.从而切线平行于x轴.因此，法线垂直于x轴.如图切线方程：y=f(x0).法线方程：x=x0.y=f(x)0xyMf(x0)x0从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.02切线方程：x=x0.03当f(x0)=?(不存在).即k=tg?=?.故01法线方程：y=f(x0).04如图,单位圆在(1,0)处切线方程:x=1.法线方程:y=0.0xy1–1添加标题又如图添加标题x添加标题由于在原点(0,0)处,添加标题y添加标题0添加标题(不存在)添加标题从而切线方程:x=0,法线方程:y=0.由于(ex)=ex,因切线过点(2,0),代入,得得x0=3.所求切线为y?e3=e3(x?3)解：由于点(2,0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式y?f(x0)=f(x0)(x?x0).例8.求过点(2,0)且与曲线y=ex相切的直线方程.定理.若y=f(x)在x0可导，则y=f(x)在x0必连续.证：因f(x)在x0可导，即可导与连续的关系由极限与无穷小量的关系，有或故故|x|在x=0连续.例.讨论f(x)=|x|在x=0处的可导性和连续性.定理的逆命题不成立，即,若y=f(x)在x0连续，y=f(x)在x0不一定可导.解：由于但|x|在x=0不可导.因f(x)=|x|=添加标题01单击此处添加小标题?x,x003单击此处添加小标题x,x≥002单击此处添加小标题=1