2024高考数学常考题型精华版第3讲 导数中八大切线问题题型总结（解析版）.docxVIP

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第3讲导数中八大切线问题题型总结

【考点分析】

考点一：曲线在点处的切线方程

①把切点的横坐标带入导函数，得

②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为

考点二：过一点的切线方程

①设切点为，则斜率

②利用切点和斜率写出切线方程为：，

③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点）

【题型目录】

题型一：导数与切线斜率的关系

题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）

题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为）

题型四：已知切线求参数问题

题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）

题型六：公切线问题

题型七：切线平行、垂直、重合问题

题型八：与切线相关的最值问题

【典例例题】

题型一：导数与切线斜率的关系

【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（???????）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.

【详解】

如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，

表示切线斜率，

又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，

结合图象，可得，即.

故选：C.

【例2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由导数的几何意义判断

【详解】

由图象可知在上单调递增，，

故，即

故选：B

【题型专练】

1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出.

【详解】

由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；

记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，

即.

故选：AB

2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.

【详解】由图知：，即.

故选：A

题型二：在点处切线（此类题目点即为切点）

【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】

详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】

本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可．

【详解】

是奇函数，

恒成立，所以，

，，

所以，，即，

．

故选：A．

【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（???????）

A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0

C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0

【答案】B

【解析】

【分析】

将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.

【详解】

解：因为，所以，所以．

又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．

故选：B.

【例4】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解.

【详解】

由题意，函数，可得，

因为，所以，即切线的斜率，

设切线的倾斜角为，则

又因为，所以或，

即切线的倾斜角的范围为.

故选：B.

【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（???????）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】

【分析】

依据题意列出关于的方程组，即可求得的值

【详解】

由切点在曲线上，得①；

由切点在切线上，得②；

对曲线求导得，∴，即③，

联立①②③，解之得

故选：A.

【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（???????）

A． B