【八年级上册数学沪教版】专题14 垂直平分线、角平分线及轨迹（知识精讲+综合训练）（解析版）.docxVIP

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章节复习知识精讲与综合训练

专题14垂直平分线、角平分线及轨迹

知识精讲

知识精讲

知识点01线段的垂直平分线

线段的垂直平分线：

（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；

（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；

（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．

【典例分析】

1．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，交于E，已知，则的度数为（????）

B． C． D．

【答案】．B

【分析】由线段垂直平分线的性质定理得，则有，再由已知即可求得．

【详解】解：∵是的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，其中线段垂直平分线的性质定理的运用是本题的关键．

2．如图，在中，边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点边的垂直平分线，分别与边和边交于点和点，的周长为，且，则的长为(????)

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】．C

【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．

【详解】解：∵是边的垂直平分线，是线段的中垂线，

∴，

∵的周长为，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

3．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（????）

B． C． D．

【答案】．A

【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算即可．

【详解】解：∵

∴

∵是线段的垂直平分线，

∴

∴

同理，

∴

∴

故选：A．

【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

知识点02角平分线

1、角平分线：

（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；

（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；

（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．

【典例分析】

4．如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点D，交于点G，点Р是线段上的动点，点Q是线段上的动点，连接、，下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】．D

【分析】①根据，，推出，结合，，推出，得到，根据三角形外角性质推出，得到，正确；②根据，平分，公用，推出，推出，根据，推出，得到，得到，正确；③根据和，得到和，根据，推出，推出，正确；④过点C作于点H，连接，，根据等腰中，推出，根据，推出点C与点G关于直线对称，得到，根据点Р是线段上的动点，点Q是线段上的动点，推出．

【详解】①∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，正确；

②∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵

∴，

∴，

∴，正确；

③∵，

∴，

∵，

∴，

∵,

∴，

∴，正确；

④过点C作于点H，连接，，

∵等腰中，，，

∴，

∵，

∴与沿直线折叠重合，

∴点C与点G关于直线对称，

∴，

∵点Р是线段上的动点，点Q是线段上的动点，

∴，正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，全等三角形，轴对称等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的边角性质，角平分线定义及轴对称性，全等三角形的判断和性质．

5．如图，在中，若分别以、为边作和，且，，，、交于点，连接，则的度数为（????）

B． C． D．

【答案】．A

【分析】先证明，得，再证明，得，则点在的平分线上，所以，再由得，即可求解．

【详解】解：如图，作于点，于点，则，

，

，

在和中，

，

，

，

在和中

，

，

，

点在的平分线上，

，

，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

6．如图，在四边形中，，连接．若P是边上一动点，则长的最小值为（）．

A．4