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高等数学下册试题及答案解析

一、填空题（每小题 3分，共计 24分）

1、z=

loga(x2

y2)(a

0)的定义域为D=.

ln(x2

y2)dxdy

2、二重积分|x||y|

1

的符号为

.

3、由曲线yln

x及直线x

ye1，y

1所围图形的面积用二重积分表示为

，其值

为.

x

(t)

(x

),

y

(t)

4、设曲线L的参数方程表示为

则弧长元素ds

.

5、设曲面∑为

x2

y2

9介于z

0及z

3间的部分的外侧，则

（x2

y2

1)ds

.

dy

y

y

6、微分方程dx

tan

x的通解为

.

x

7、方程y(4)

4y0的通解为

.

1

8、级数n1n(n

1)的和为

.

二、选择题（每小题

2分，共计

16分）

1、二元函数z

f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（

）

A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

z

fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y

当

(x)2

（C）

lim

z

fx(x0,y0)x

fy(x0,y0)y

0

x0

(x)2

(y)2

（D）y0

.

uyf(x)

xf(y),

f

2、设

y

x

其中

具有二阶连续导数，则

（A）x

y；

（B）x；

(C)y；

(D)0.

2

(y) 0时，是无穷小；

2u

2u

x

2

y

2

x

y

等于（

）

：x2

y2

z2

I

zdV

3、设

1,z

0,则三重积分

等于（

）

2d

2d

1

3sin

cosdr

（A）4

r

0

0

0

；

2d

d

1

2sin

dr

（B）0

r

0

0

；

1/18

2

2d

1

r

3sin

cos

dr

d

（C）0

0

0

；

2

d

1

r

3sin

cos

dr

d

（D）0

0

0

.

4、球面x2

y2

z2

4a2

与柱面x2

y2

2ax所围成的立体体积

V=（

）

4

2d

2acos

4a2

r

2dr

0

（A）

0

；

4

2d

2acos

4a2

r2dr

0

r

（B）

0

；

8

2d

2acos

4a2

r2dr

0

r

（C）

0

；

2d

2acos

4a2

r2dr

0

r

（D）

2

.

5、设有界闭区域

D由分段光滑曲线

L所围成，L取正向，函数

P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续

偏导数，则

Pdx

Qdy

(

)

L

(

P

Q

)dxdy

（A）D

y

x

；

（B）

(

P

Q)dxdy

（C）D

x

y

；

（D）

6、下列说法中错误的是（

）

D

D

Q

P

(

)dxdy

y

x

；

(Q

P)dxdy

x

y

.

（A）方程xy

2y

x2y0是三阶微分方程；

ydy

xdy

ysinx

（B）方程

dx

dx

是一阶微分方程；

（C）方程(x2

2xy3)dx

(y2

3x2y2)dy0是全微分方程；

dy

1

2y

（D）方程dx

x

x

2

是伯努利方程.

7、已知曲线y

y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线

2x

y6

0平行，而y(x)满足微分方

程y

2y

5y

0，则曲线的方程为

y

（

）

（A）

exsin2x；

（B）ex(sin2x

cos2x)

；

（C）ex(cos2x

sin2x)；

（D）exsin2x.

limnun

0

,则n1

un

8、设n

（

）

（A）收敛；

（B）发散；

（C）不一定；

（D）绝对收敛.

三、求解下列问题（共计

15分）

1、（7分）设f,g均为连续可微函数.u

u,

u

f

(x,xy),v

g(x

xy)，求x

y.

u(x,t)

x

t

u,

u

x

f(z)dz

2、（8分）设

t

，求

x

t.

2/18

四、求解下列问题（共计

15分）.

2

2

y2

dy

1、计算I

dx