第06讲 拓展二：构造函数法解决导数不等式问题 (高频考点，精讲）（解析版）.docx

第06讲拓展二：构造函数法解决导数不等式问题(精讲+精练）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：构造或(，且)型

高频考点二：构造或(，且)型

高频考点三：构造或型

高频考点四：构造或型

高频考点五：根据不等式（求解目标）构造具体函数

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

1、两个基本还原

①②

2、类型一：构造可导积函数

①高频考点1：

②

高频考点1：高频考点2

③高频考点1：

④

高频考点1：高频考点2

⑤

⑥

序号

条件

构造函数

1

2

3

4

5

6

7

8

3、类型二：构造可商函数

①高频考点1：

②

高频考点1：高频考点2：

③

⑥

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：构造或(，且)型

典型例题

例题1．设是奇函数，是的导函数，．当时，，则使得成立的的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】令，所以

当当时，，所以

所以可知的在的单调递增，

又是奇函数且，所以，则

由，

所以函数为的偶函数且在单调递减，

当时，的解集为

当时，的解集为

综上所述：的解集为：

故选：D

例题2．若是定义在上函数，且的图形关于直线对称，当时，，且，则不等式的解集为________.

【答案】

【详解】的图形关于直线对称，将图形向右平移个单位，

的图形关于直线对称，

为偶函数，

设，所以为奇函数，

当时，，

所以，

即函数在上单调递减，且在上单调递减，

由，所以，

当时，，解得，

当时，，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

题型归类练

1．定义在上的单调递增函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为在上单调递增，所以；

又因为，所以．

令，所以，

所以在上单调递增，

又因为，所以，

即，所以，

同理可以排除A、C、D，

故选：B

2．是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】当时，构造函数，，

所以在上为减函数，

由是定义在上的偶函数，

所以在为奇函数，

所以在上为减函数，

，则，

所以，

所以若要，即，可得，

故选：B.

3．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时,，且f（3）＝0，则不等式f（x）≥0的解集为（???????）

A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]

C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）

【答案】D

【详解】设，（x＞0），则其导数，

而当x＞0时，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，

又由f（3）＝0，则0，所以区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，，

且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0，

综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）．

故选：D.

4．定义在上的函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集是_____.

【答案】

【详解】设，因为，

所以是上的减函数，

因为，所以，

因此.

所以的解集为.

故答案为：

高频考点二：构造或(，且)型

典型例题

例题1．定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令，则，

因为，所以，所以在上单调递减，

由可得，即，

所以，解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：D.

例题2．已知函数的定义城为，对任意的，有，则（??）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】令，有，

可得函数在上单调递增，有，

得，又有，

有，有．

故选：A

题型归类练

1．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设函数，

因为，

所以，

所以在定义域上递减，

又因为，

所以，

所以不等式，即，

即，

解得，

故选：B

2．定义在R上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令，则，

所以在R上单调递增．

因为，所以不等式，

可变形得，即，所以，

解得．

故选：D

3．是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：令，则．

因为，所以，所以，

所以在R上单调递增，又因为，所以，

即，