2025年中考数学复习--直角三角形的存在性问题专项练习.docx

直角三角形的存在性问题

1.如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x,若△ABC为直角三角形，求x的值.

2.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(--4,0),点B的坐标为(0,b)(b0).P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P(点P不在y轴上),联结PP、PA、PC.设点P的横坐标为a.是否同时存在a、b，使△PCA为等腰直角三角形?若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由.

3.如图，抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若直线l过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A、B

4.如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与

(1)求二次函数的解析式；

(2)在坐标轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由.

5.如图,在△ABC中,CA=CB,AB=8,cos∠A=45点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE.

(1)求底边AB上的高;

(2)设CE与AB交于点F,当△ACF为直角三角形时,求AD的长;

(3)联结AE,当△ADE是直角三角形时,求AD的长.

6.如图1,点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点,联结BE,过点E作ME⊥EB交DC于点M.

(1)求证:BE=ME;

小明给出的思路为：过点E作AD的平行线，分别交AB、DC于点F、H，请完善小明的证明过程.

(2)若正方形ABCD的边长为4,当DM=3时,求AE的长度;

(3)探索，如图2，在直角坐标系中，点P的坐标为(6，3)，点Q的坐标为(4，0)，在直角坐标系中找一点G，使得△PQG为等腰直角三角形，且∠PGQ=90°，直接写出点G的坐标.

7.如图1，在平行四边形ABCD中，点P是对角线BD上一个动点，且满足PA=PC.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)如果AB=6,∠ABC=60°,设BP=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域；

(3)在第(2)题的条件下,延长AP交射线BC于点E.当△EPC是直角三角形时,求BP的长.

1.满分解答

①若AC为斜边，则1=x2+3-x2,即x2-3x+4=0,

②若AB为斜边，则x2=3-x2+1,解得

③若BC为斜边，则3-x2=1+x2,解得

因此当x=53或x=43时，

2.满分解答

①如图1，当∠PAC=90°时,四边形PACP是正方形.点P的坐标为(4,8),此时a=4,b=4.

②如图2,当.∠PCA=90°时,B、P、P三点重合

③如图3，当∠APC=90°时，∠PPC是等腰直角三角形，AC=2PP=4OC.

3.满分解答

由y=-38x2-34x+3=-38

如图1，过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总有交点，即2个点M.

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M，不符合题意；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了，符合题意.

联结GM,那么GM⊥l.

在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.因此tan

而在Rt△COE中,tan

所以直线EM与直线EC重合.因此直线l为y=-

根据对称性，直线l还可以是y=

4.满分解答

(1)因为直线y=12x+1与x轴交于点A,与y轴交于点

因为抛物线y=12x2

所以c=1,b+c+12=0.解得

(2)①如图1,当P在y轴上时,PC∥x轴,所以P(0,3).

②如图2,当P在x轴上时,那么△BOP∽△PHC.因此BO

设P(m,0),那么1m=4-m3.解得m=1或

5.满分解答

(1)如图1,设AB边上的高为CH,那么AH=BH=4.

在Rt△ACH中,AH=4,cos∠A=45所以

(2)①如图2,当∠AFC=90°时,F是AB的中点,AF=4,CF=3.

在Rt△DEF中,EF=CE-CF=2,cos∠E=45所以DE=52

②如图3,当∠ACF=90°时,∠DCE=45°.

作DG⊥CE,垂足为G,那么DG=CG.

在Rt△DEG中,设DG=3m,那么DE=5m,GE=4m.

由CE=CA=5,得7m=5.解得m