2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第1节 将军饮马 （含解析）.docx

第1节将军饮马

前言：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗.而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，称为“将军饮马”问题.

1模型认识.

问题描述：如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短?

问题简化：如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小?

问题解决：作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=PA,所以PA+PB=PA+PB.

当A、P、B三点共线的时候,PA+PB=AB,此时为最小值.(两点之间线段最短)

思路概括

作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称，化折线段为直线段.根据“两点间线段最短”可得最小值.

引例1：在平面直角坐标系中，点A坐标是(0，1)，点B坐标是(3,2),在x轴上取一点P,使得PA+PB最小,则点P坐标是.

解析：作点A关于x轴的对称点A，连接AB，与x轴的交点即为所求点P.

由题意得点A坐标为(0,-1),

∴直线AB的解析式为y=x-1,与x轴交点为(1,0),

∴PA+PB最小时,点P的坐标是(1,0).

模型拓展除了基本的模型之外，我们也可以利用类似的理论构造类似的图形.可用于求最值的定理有：

①两点之间线段最短；

②点与直线的连线中，垂线段最短；

(1)点-点:一定两动

在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.

分析：此处M、N均为折点，分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP,当P、M、N、P共线时,△PMN周长最小.

引例2:如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值是.

解析:△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P、P,化PM+PN+MN为PN+MN+PM.

当P、N、M、P共线时,得△PMN周长的最小值,即线段PP长,连接OP、OP,可得△OPP为等边三角形，∴PP=OP=OP=8.

【思考】∠AOB还可以是多少度?

点-点：两定两动

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小.

分析:考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称,化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ,当P、M、N、Q共线时,四边形PMNQ的周长最小.

引例3：在平面直角坐标系中，点P坐标是(1，3)，点Q坐标是(4,2),分别在y轴、x轴上取点M、N,则四边形PMNQ周长的最小值是.

解析:考虑到PQ是定值,∴只需PM+MN+NQ的值最小即可.作点P关于y轴的对称点P,坐标是(-1,3),作点Q关于x轴的对称点Q,坐标是(4,-2).

连接PQ,与y轴、x轴交点即为M、N,此时四边形PMNQ的周长最小，

最小值为P

(2)点-线：点与直线的连线中，垂线段最短在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小.

分析：此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN,即过点P作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,即可得PM+MN最小值.

引例4:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠BAC,分别在AD、AC上取点M、N,连接CM、MN,则CM+MN的最小值是.

解析：∵AD是角平分线，∴点N关于AD的对称点N在线段AB上,连接MN,有CM+MN=CM+MN,考虑到M、N皆为动点，∴过点C作AB的垂线，与AD、AB交点即是M、N,此时CM+MN最小.

最小值CN即Rt△ABC斜边高线长,即CN=

(3)PA-PB型：三角形两边之差小于第三边在直线l上取点P使得PA-PB最大.

分析：PA-PB型一般求最大值，且A、B初始位置在折点所在直线(上图中l)两侧，与PA+PB型不同.

作点B关于直线l的对称点B，

则PA-PB=PA-PB≤AB,

当A、B、P共线时,此时PA-PB=AB最大.

引例5:如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为

解析：作点M关于BD的对称点M，根据对称性可知M在AB上且AM=2,连接PM,则PM