高中数学同步教学 利用函数性质判定方程解的存在.pptxVIP

第四章函数应用

§1函数与方程

1.1利用函数性质判定方程解的存在

1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系.2.掌握函数零点的判定定理,会探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法.3.会求简单函数的零点,体会函数与方程思想及数形结合思想等数学思想的应用.

1.函数的零点

【做一做1-1】函数y=x的零点是()A.(0,0) B.0 C.1 D.不存在答案:B【做一做1-2】函数f(x)=x2-2x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案:C

2.函数零点的判定定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.

名师点拨当函数y=f(x)同时满足:①函数的图像在闭区间[a,b]上是连续的曲线;②f(a)·f(b)0,则可以判断函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,但是不能明确说明有几个零点.当函数y=f(x)的图像在闭区间[a,b]上不是连续的曲线,或不满足f(a)·f(b)0时,函数y=f(x)在区间[a,b]内可能存在零点,也可能不存在零点.例如,①二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[3,4]上有f(3)=0,f(4)0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函数f(x)的一个零点.②函数f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)·f(1)=10,但是函数f(x)在区间[-1,1]上存在零点0.③函数在区间[-1,1]上有f(-1)·f(1)0,但是由其图像知函数f(x)在区间[-1,1]内无零点.

【做一做2-1】已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点,则此零点所在的区间是()A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)解析:利用零点存在的判定条件,判断零点存在的区间.f(0)=-10,f(1)=-10,f(2)=50,f(3)=230,f(4)=590.根据选项,只有区间(1,2)满足.答案:C【做一做2-2】已知函数f(x)=mx-1在(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是.?解析:由f(0)·f(1)0得(-1)·(m-1)0.解得m1.答案:(1,+∞)

题型一题型二题型三题型四题型一求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点,若存在,请求出零点:分析:求函数的零点就是求相应方程的实数解.

题型一题型二题型三题型四(2)令3x-9=0,即3x=9,解得x=2,所以函数f(x)=3x-9存在零点,且零点为2.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x存在零点,且零点是3.

题型一题型二题型三题型四反思求函数零点的方法求函数f(x)的零点即求方程f(x)=0的实数解.若方程f(x)=0有实数解,则函数f(x)存在零点,否则函数f(x)不存在零点.(1)对于二次函数的零点,可以用多种方法求解,如公式法、因式分解法、配方法等.(2)对于三次及三次以上的高次函数的零点,一般采用因式分解法.(3)对于指数、对数函数的零点,一般是解指数、对数方程.

题型一题型二题型三题型四【变式训练1】若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是.?解析:由f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,得3a-b=0,即3a=b,又g(x)=bx2+3ax=x(bx+3a)=x(bx+b).令g(x)=0,解得x1=0,x2=-1.答案:0和-1

题型一题型二题型三题型四题型二判断函数的零点个数【例2】求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.分析:方法一,借助函数f(x)的单调性确定;方法二,借助函数f(x)的图像确定.解:(方法一)∵f(0)=1+0-2=-10,f(2)=4+lg3-2=2+lg30,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.

题型一题型二题型三题型四(方法二)在同一平面直角坐标系下分别作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)在(-1,+∞)上的图像,如图.由图像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.

题型一题型二题型三题型四反思判断函数零点个数的方法主要有:(1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出.(2)用定理:零点存在性定理.(3)利用图像