专题44 特殊的四边形-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdfVIP

专题44特殊的四边形

一、三角形的中位线

【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过

MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？

【解答】解：AP＝AQ．理由如下：

如图，取BC的中点H，连接MH，NH．

1

∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，MH=EC．

2

1

∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，NH=BD．

2

∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；

∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，

同理∠HNM＝∠QPA．

∴△APQ为等腰三角形，

∴AP＝AQ．

【巩固】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，

连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，求线段BC的长．

【解答】解：设EF＝x，

∵点E、点F分别是OA、OD的中点，

∴EF是△OAD的中位线，

∴AD＝2x，AD∥EF，

∴∠CAD＝∠CEF＝45°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，

∴∠ACB＝∠CAD＝45°，

∵EM⊥BC，

∴∠EMC＝90°，

∴△EMC是等腰直角三角形，

∴∠CEM＝45°，

连接BE，

∵AB＝OB，AE＝OE

∴BE⊥AO

∴∠BEM＝45°，

∴BM＝EM＝MC＝x，

∴BM＝FE，

易得△ENF≌△MNB，

1

∴EN＝MN=x，BN＝FN＝5，

2

222

Rt△BNM中，由勾股定理得：BN＝BM+MN，

1

222

即5＝x+（x），

2

解得，x＝25，

∴BC＝2x＝45．

答：线段BC的长为45．

二、矩形中的折叠

【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝

10．当折痕GH最长时，线段BH的长为．

【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，

设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，

222

由勾股定理得，HC+CE＝HE，

222

即（10﹣x）+6＝x，

解得x＝6.8，

故答案为：6.8．

【巩固】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，

（1）如图1，将△ADE沿AE翻折，使点D的对应点M恰好在BC边的中点，求的值；

（2）如图2，若点E为CD的中点，过点A作AF⊥BE于F，连接DF，求证DF＝BC．

【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

由折叠可得AD＝AM，

∴BC＝AM，

又∵M是BC的中点，

11

∴BM=BC