高一上学期期末复习【第五章 三角函数】十一大题型归纳（拔尖篇）（解析版）.docxVIP

高一上学期期末复习第五章十一大题型归纳（拔尖篇）

【人教A版（2019）】

题型1

题型1

弧长公式与扇形面积公式的应用

1．（2023下·湖南长沙·高一统考期末）某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，则扇环的圆心角α的大小为（????）

??

A．π2 B．3π4 C．5

【解题思路】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求求解.

【解答过程】由该扇环的面积为π，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2，

可得12α×2

即扇环的圆心角α的大小为2π

故选：D.

2．（2023上·江苏泰州·高一统考期末）中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形OBD，再从扇形OBD中剪去扇形OAC（如图2）.记圆面面积为S1，扇形OBD的面积为S2，把满足S2S1-S2=5-12且OAAB=5-12

A．20(5+1)π B．20(3-5)π

【解题思路】首先求出OA，设圆心角∠BOD=α，圆的半径为R，表示出S2，S1，根据S2S

【解答过程】依题意OB=20，OAAB=5-12

所以AB=105-1，则

设圆心角∠BOD=α，圆的半径为R，则S2=1

所以S1

因为S2S1-S2=

所以弧AC的长为α?OA=3-

故选：D.

3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．

(1)若α=150°,r=9，求扇形的弧长：

(2)若扇形的周长为12，当α为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积．

【解题思路】（1）将圆心角化为弧度，再由弧长公式求解即可；

（2）设扇形的弧长为l，则l+2r=12，即l=12-2r(0r6)，扇形的面积S=12

【解答过程】（1）∵a=150°=150×π

（2）设扇形的弧长为l，则l+2r=12，即l=12-2r(0r6)，

扇形的面积S=1

所以当且仅当r=3时，S有最大值9，

此时l=12-2×3=6,∴α=l

4．（2023·上海黄浦·统考二模）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知OA=10，OB=x0x10，线段BA，CD与BC，AD?的长度之和为30，圆心角为θ

(1)求θ关于x的函数表达式；

(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.

【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于θ、x的等式，即可得出θ关于x的函数解析式；

（2）利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y的最大值，即可得出结论.

【解答过程】（1）解：根据题意，可算得BC=θxm，

因为AB+CD+BC+AD

所以，θ=2x+10

（2）解：根据题意，可知y=

=x+5

当x=52m

综上所述，当x=52m

题型2

题型2

三角函数的化简、求值——同角三角函数的基本关系

1．（2023上·重庆铜梁·高一校联考期末）计算1-2sin10°

A．-1 B．1

C．sin10° D．

【解题思路】利用平方关系化简即可.

【解答过程】解：因为0sin

1-2sin

故选：B.

2．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知sinα+cosα=35

A．-25 B．52 C．-

【解题思路】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．

【解答过程】因为sinα+

平方得sin2α+2

故sinα

则tanα+

故选：B.

3．（2023下·四川乐山·高一期末）已知tanα=2

(1)2sin

(2)sinα

【解题思路】（1）同除以cosα

（2）先添加分母sin2α+cos2

【解答过程】（1）2sin

（2）sinα

4．（2023上·四川绵阳·高一统考期末）已知1-2sin

(1)求tanα

(2)求sinα+

【解题思路】（1）根据给定等式，利用同角正余弦平方和为1，化简变形，再借助齐次式法计算作答.

（2）利用（1）的结论，结合同角公式计算作答.

【解答过程】（1）依题意，1-2sinαcos

所以tanα=

（2）由（1）知，tanα=13

由sin2α+cos2α=1

当α为第一象限角时，sinα+

当α为第三象限角时，sinα+

题型3

题型3

诱导公式的综合应用

1．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知π2απ，则1-2

A．sinα-cosα B．sinα+cosα

【解题思路】利用诱导公式及平方关系化简即可.

【解答过程】因为π2απ，所以sinα0，

所以1-2

=

=

=sin

故选：A.

2．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知tana=12，则sin