《复数的加法与减法》同步学案 (1).docVIP

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《复数的加法与减法》同步学案

问题情境导入

我们前面学习了复数的概念及其几何意义，那你们知道复数是如何进行加减法运算的吗？能类比我们之前学过的哪种形式的运算呢？在运算时复数单位“i”又应该如何处理呢？这节课我们就来学习这些内容.

新课自主学习

自学导引

1.复数的加、减法法则：两个复数的和（差）仍是一个复数，两个复数的和（差）的实部是它们的实部的和（差），两个复数的和（差）的虚部是它们的虚部的和（差）.

即设，是任意两个复数，那么_____；_____.

2.复数加法满足的运算律：

对于任意，有

（1）结合律：_____；

（2）交换律：_____.

3.复数加法的几何意义：

如图，分别与向量对应，根据平面向量的坐标运算，有_____.

这说明两个向量的和就是与复数对应的向量，因此，复数的加法可以按照_____来进行，这就是复数加法的几何意义.

答案

1.

2.（1）（2）

3.向量的加法

预习测评

1.计算：（1）_____；

（2）_____；

（3）_____；

（4）_____.

2.化简的结果为（）

A.

B.

C.

D.

3.设，则在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4._____.

答案

1（1）（2）（3）（4）

2.C

3.D

4.

新知合作探究

探究点1复数的加、减法运算

知识详解

两个复数的和（差）仍是一个复数，两个复数的和（差的实部是它们的实部的和（差），两个复数的和（差）的虚是它们的虚部的和（差）.

也就是说，设，

则有.

[特别提示]

（1）复数的加减法运算，即复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

（2）把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.

典例探究

例1（1）_____；

（2）已知复数z满足，求z.

解析（1）.

（2）可以设出z的复数形式，列方程求解；也可以直接用减去，求出z.

答案（1）

（2）方法一：设，因为，所以，即且，解得，所以.

方法二：因为，所以.

变式训练1复数等于（）

A.

B.

C.

D.

答案A

点拨.故选A.

探究点2复数加、减法的几何意义

知识详解

复数加法的几何意义：

复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则），即若复数对应向量分别是，四边形为平行四边形，则与复数对应的向量是.

复数减法的几何意义为：

两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减向量的向量相对应.即若复数的对应向量分别是，则与复数对应的向量是.

典例探究

例2已知复数在复平面内对应的点分别为A，B，求对应的复数z，z在复平面内所对应的点在第几象限？

解析根据向量的减法运算求出，找出其对应复数的实部与虚部，确定其所对应的点所在象限.

答案，则.

的实部，虚部，

复数z在复平面内所对应的点在第二象限.

方法归纳任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即所表示的复数是，而所表示的复数是，故切不可把被减数与减数搞错.向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是唯一的，因此我们将复平面上的向量称之为自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关.

变式训练2复数，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

答案方法一：设复数所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为，是：

，

.

，即，

解得

故点D对应的复数为.

方法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是.

故点D对应的复数为.

方法归纳根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形进行观察，往往能起到启迪解题思路的作用.

易错易混解读

例在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，那么对应的复数为_____.

错解.

错因分析对复数减法运算的几何意义没有理解，没有分清楚哪一个是被减向量，应该是箭头指向的为被减向量，因此.

正解，

对应的复数为

.

纠错心得复数加减法的几何意义是可以按照向量的加减法来进行，遵从三角形法则.注意加法的三角形要求首位相接，即（其中*表示任意一个字母），而减法的三角形起点一样，指向被减向量，即（其中*表示任意一个字母）.

课堂快速检测

1.向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（）

A.

B.

C.0

D.

2.设，当时，复数为（）

A.

B.

C