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《指数运算与指数函数》高考真题再现

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高考真题再现

考点1指数幂的运算

指数幂的运算在高考中较少单独命题，一般作为函数问题的一个工具进行考查，且难度不大，指数幂的运算，多与分段函数求值综合近几年的高考中，时常出现条件求值问题，多以选择题、填空题的形式出现，分值一般为5分.

例1（2019·全国Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行.点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为，月球质量为，地月距离为点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于a的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（）

A.

B.

C.

D.

解析，所以有，化简可得，可得.

答案D

例2（2018·上海）已知常数，函数的图象经过点，若，则_________.

解析.

答案6

考点2指数函数图象及其应用

指数函数图象主要考查图象的画法及图象的平移变换，考查识图、用图能力，突出考查数形结合思想，体现了直观想象的核心素养在高考中分值一般为5分，以低、中档题为主.

例3（2019·全国Ⅲ）函数，在的图象大致为（）

A.

B.

C.

D.

解析设，其定义域为R，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C；又，排除选项D;，排除选项A.

答案B

例4（2018·全国Ⅱ）函数的图象大致为（）

A.

B.

C.

D.

解析为奇函数，排除A；时，，排除D；取，故选B.

答案B

考点3指数不等式

指数不等式常与集合的交、并、补结合考查，一般以选择或填空题的形式进行考查，难度不大，有时和其他函数进行综合考查，考查函数的单调性等性质的应用在高考中分值一般为5分.

例5（2017·全国I）已知集合，则（）

A.

B.

C.

D.

解析，

.

答案A

例6（2017·江苏改编）已知函数，其中e是自然对数的底数，.若，则实数a的取值范围是_________.

解析由于均为增函数，为减函数，故为增函数，因此可得在R上递增.

又的定义域为，

可得为奇函数.又，

即有，

即有，解得，故实数a的取值范围是.

答案

考点4指数型函数的性质

指数型函数的性质在高考中主要考查函数的定义域、值域、单调性、过定点，有时考查这些性质的综合应用.在高考中分值一般为5分，以低、中档题为主.

例7（2017·北京）已知函数，则（）

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数

解析的定义域为R.

又，

，

故函数为奇函数.

又由函数为增函数，为减函数，

故函数为增函数.

答案A

例8（2017·山东改编）若函数（e是自然对数的底数，）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________.

①；②；③.

解析对于①，，则为实数集上的增函数，故具有M性质；对于②，，则为实数集上的减函数，故不具有M性质；对于③，，则，当时显然为增函数，具有M性质.具有M性质的函数序号为①③.

答案①③