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2024年研究生考试考研数学(一301)复习试卷及解答参考

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、设函数fx=11+

A.0

B.1

C.?

D.不存在

答案：B

解析：要求f′0，需要对fx

f

使用链式法则求导：

f

代入x=

f

但这里我们求的是f′

lim

代入fx和f

lim

化简：

lim

因此，f′0=0，选项A是正确答案。但注意，这里我们实际上求的是f′

2、设函数fx=e

A.?

B.?

C.?

D.?

答案：A

解析：

首先求fx的导数f

f

由于ex20对所有x都成立，因此f′x的符号由2x2决定。显然，2x

进一步分析2x2的符号，我们知道2x20当x≠0，所以f′

故正确答案为A。

3、设函数fx=x2?

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：A

解析：函数fx=x2?4x?2的分母不能为零，所以x

4、设函数fx

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：首先对函数fx求一阶导数f′x，得f′x=3x2?6x+2。令f′x=0求解，得x=1和x=23。接下来求二阶导数f″

5、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P(X=2)=P(X=3)，则λ的值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：

根据泊松分布的概率质量函数（PMF），我们有：

P

给定条件是PX

λ

简化上述等式，可以得到：

λ

进一步化简得到：

3

因为λ不等于0，所以我们可以除以λ2

3

但是，由于题目中给定的是PX=2=PX=3，我们应该检查这个值是否正确。实际上，当我们将λ=3放入泊松概率公式计算PX=2

因此，正确答案是B.2。

此解析过程展示了如何从题目给出的条件出发，利用泊松分布的知识来解决问题，并最终找到正确答案。

6、若函数fx=x2?

A.1

B.3

C.5

D.7

答案：B

解析：由于fx在x=2处连续，所以lim

f

由于分母为0，函数在x=

lim

因此limx

接下来，我们需要计算limx

lim

因此，原题的极限值为1，对应选项B。

7、设函数fx=sin

A.fx

B.fx

C.fx是一个周期函数，其周期为

D.对于所有x∈R

答案：D

解析：

选项分析如下：

A选项不正确。根据三角恒等式sin2x+cos2

B选项也不正确。由于fx=1

C选项错误。虽然sinx和cosx都是周期函数，且周期为2π，但是f

D选项正确。根据三角学的基本恒等式，我们知道对于所有实数x，sin2

因此，正确答案是D。此题考察了基本的三角恒等变换知识以及对函数性质的理解。

8、设函数fx=ex2，则f

A.1

B.2

C.e

D.e

答案：B

解析：

由于fx=ex2，我们可以使用链式法则来求导。首先，设u

对于u=x2，其导数u′=

因此，f′x=ex

所以，正确答案是B.0。这里原题答案可能存在错误，正确的答案应为B.0。

9、设函数fx

A.函数fx在?

B.函数fx在?

C.函数fx的图像与x

D.函数fx在x

答案：D

解析：

为了分析选项的正确性，我们首先需要对给定的函数fx

求导：f′x=

求二阶导：f″

对于选项A，我们检查f′x的符号变化来确定函数是否单调递增。由于f′x=3x2?1=3x?1

对于选项B，根据f′x的零点，我们可以知道x=?1和x=1是可能的极值点。因为f

对于选项C，要确定函数的图像与x轴有几个交点，我们需要解方程fx=0

对于选项D，由于f′1=0并且f″

综上所述，正确答案为D。函数fx=x

10、设函数fx=x3?3xx2?2

A.x=

B.x=

C.x=

D.x=

答案：D

解析：首先，对函数fx

f

化简得：

f

令f′x=0，解得

当x0时，f′

当0x2时，

当x2时，f′

因此，x=2是函数的极大值点。所以正确答案是D.

二、计算题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

第一题

设函数fx=12x

答案：

给定的函数为fx

首先，我们来计算fx的导数f

f

因此，f′

接下来，为了讨论f′x的单调性，我们需要进一步计算f′x的导数，即

f

注意到对于所有的x≠0，f″

解析：

此题主要考察了微积分中导数的计算和应用。通过计算给定函数的一阶导数f′x，我们可以了解原函数fx的变化率。进一步地，通过计算二阶导数f″x，我们可以分析一阶导数f

在这个例子中，我们发现f′x是严格单调递增的，意味着随着x的增加，fx的增长速度也在加快（当x0时）或减缓（当x

第二题：

已知函数fx=ex2

答案：

fx在x

f

其中：

f0=e02sin0=0f

因此，fx在x

解析：

泰勒展开是一种将函数在某一点的邻域内用多项式逼近的方法。在本题中，我们需要求出fx=ex2si