2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年山西省太原市常青藤中学高一（上）月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列不等式一定成立的是(????)

A.x2+12x(x0) B.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)

2.已知函数f(x)=ax?2+1(a0,a≠1)的图像恒过一点P，且点P在直线mx+ny?1=0(mn0)的图像上，则1m

A.4 B.6 C.7 D.8

3.若2a=5b=10

A.?1 B.lg7 C.1 D.log

4.下列各式中，值为12的是(????)

A.12(cos15°?sin15°) B.tan22.5°1?tan222.5

5.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数，且函数y=f(x)x在区间I上是增函数，那么称函数y=f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)=x2?4x+2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”

A.[2,2] B.(?∞,?2]和[

6.已知函数f(x)=log3x+ax≥13x?2+

A.(?2,4) B.(?2,+∞) C.(?4,2) D.(?1,4)

7.已知tanα=2，则cos2α?12

A.130 B.45 C.?3

8.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(

A.?94 B.?32 C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设O为△ABC的外心，AB=2，AC=4，∠BAC的角平分线AM交BC于点M，则(????)

A.AM=23AB+13AC

10.已知复数z1，z2，下列说法正确的有(????)

A.若z1=z2?，则z1?=z2 B.若z1

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱

A.三棱锥A1?ACD的外接球的表面积为12π

B.三棱锥A1?ACD的外接球的体积为43π

C.点C到平面C1EF的距离为13

D.已知点P是底面ABCD(不含边界

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.f(x)=x5+100x3+x+1，若

13.当x，y∈(0,+∞)时，x2+5

14.在△ABC中，AC=2AB=2，AB⊥BC，点M满足∠AMC=∠BMC=2π3，则AM+BM+CM=______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数y=f(x)，其中f(x)=4?2x．

(1)求y=f(x)的定义域；

(2)若2f(a)=f(log

16.(本小题15分)

已知向量a，b．

(1)若a=(1,1)，b=(1,2)，求(a?2b)?(a+b)；

(2)若a

17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinC=3csinB2．

(1)求角B的大小；

(2)若b=6，且△ABC的面积为

18.(本小题17分)

2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；

(2)用分层抽样的方法从[20,40)，[80,100)这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[80,100)这组的概率．

19.(本小题17分)

如图，在三棱锥A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小为45°，求三棱锥A?BCD的体积．

参考答案

1.D?

2.D?

3.C?

4.B?

5.B?

6.A?

7.D?

8.D?

9.AC?

10.AC?

11.ABD?

12.4?

13.0?

14.7

15.解：(1)函数y=f(x)有意义，则有4?2x≥0，得x≤2，

所以函数y=f(x)的定义域为(?∞,2]．

(2)因为f(log23)=4?2log23=4?3=1，

16.解：(1)因为a=(1,1)，b=(1,2)，

所以a?2b=(?1,?3)，a+b=(2,3)，

所以(a?2b)?(a+b)=?1×2?3×3=?11；

(2)因为a,b是单位向量，设a,b的夹角为θ，