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新人教A版数学选择性必修第二册[在此处键入]第五章一元函数的导数及其应用

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《不等式恒(能)成立问题》教学设计

一、教材分析

《不等式恒(能)成立问题》这一节课是第五章《一元函数的导数及其应用》的一个补充内容，体现了导数这个工具在研究函数性质的重要性，尤其是对函数的单调性与函数的最值的在这一节课上有一个很好的体现.

学生学情分析

1.学生已具备的能力：已掌握求导法则；已掌握利用导数来分析函数单调性与求函数最值；已学过分离参数与分类讨论等数学思想方法；具备一定归纳推理、分析问题、转化问题的能力.

2.学生面临的困难：判断不等式问题是属于恒成立还是能成立问题；找出恒成立与能成立问题所对应的函数最值；新函数的构造；利用导数求函数的的最值.

教学目标设置

掌握不等式恒成立问题与能成立问题的判断.

通过不等式恒成立与能成立问题的本质，转化为求函数最值的方法.

经历不等式恒成立与能成立问题的提出和观察、发现、并证明的解题思路探索过程，领悟由特殊到一般、一般到特殊和类比的数学思想方法，培养合情推理能力，提高数学抽象素养.

四、教学重点与难点

重点：会判断不等式是恒成立问题还是能成立问题及其会求对应的函数最值问题.

难点：求函数的最值.

五、教学过程设计

（一）知识点清单

不等式恒(能)成立

代数形式

图示

转化为

恒成立

能成立

【设计意图】先让学生了解不等式恒(能)成立的四种代数形式，通过让学生更能直观感知不不等式恒(能)成立可以转化为求相应的函数最值问题，以此激发学生的学习兴趣，启迪思维，同时培育学生解决问题的数学素养.

（二）例题讲解

掌握了原理后，学生学习的积极性会被调动起来，接着话锋一转：不等式恒成立与鞥成立可以用来解决什么数学问题呢？下面我们就通过几道例题来熟悉一下这两类问题的解决方式吧。

例1若关于的不等式在区间内有解，求实数的取值范围.

分析：

详解：

总结：

【设计意图】先从简单问题入手，让同学们意识到能成立与恒成立问题的区别，引导学生找函数的最值，从而求得参数的取值范围，规范学生的答题步骤，总结分离参数这个数学方法，提高学生的逻辑推理能力.

例2函数的定义域为，求实数的取值范围.

分析：

详解：

总结：

【设计意图】先从简单问题入手，让同学们意识到能成立与恒成立问题的区别，引导学生找函数的最值，从而求得参数的取值范围，规范学生的答题步骤，总结分类讨论数这个数学方法，提高学生的逻辑推理能力，从两道简单的题目，让学生有初步的理解，为后面更高难度的题目做铺垫.

例3已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）

A．B．C．D.

分析：

详解：

总结：

【设计意图】一是当题目没有明显字眼来区分时，应该转化为不等式恒成立问题.二是函数在区间单调转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立.三是求参数取值范围时常用到分离参数构造新函数的思想方法.四是灵活运用导数来分析导数的性质.五是提高学生转化与化归的能力.

例3变式已知函数在区间上存在单调递增区间，求的取值范围.

分析：

详解：

总结：

【设计意图】一是单调递增和存在单调区间的主要区别，二是会区分哪一个是对应不等式能成立问题哪一个是对应不等式恒成立问题，三是通过导数将单调性、不等式等知识有机整合到创设的问题情境中，设问简洁，考查全面.

区别与联系

思想方法：分离参数，构造新函数

由新函数的最值的参数的取值范围

例4证明：

分析：先证右边的不等号成立

详解：

分析：再证左边的不等号成立

详解：

总结：

证明不等式成立解题思路：

【设计意图】不等式恒成立的一个主要作用就是证明不等式成立，所以由一道简单的高考题入手，帮助学生构建证明不等式成立的解题思路，对后面证明含有参数的不等式起打基础的作用.

例5已知函数，当时，，证明：当时，.

分析：

详解：

总结：含参数的不等式证明常用方法

构造以参数为自变量的新函数；

对参数分类讨论.

【设计意图】这道不等式证明是含有参数的，与前面的一道例题是一个递进的关系，考查了利用导数判断函数的单调性，最值的方法，培养学生的逻辑思维能力，运算求解能力，分类与整合问题的能力等.

（三）课堂小结

1.了解并会区分不等式恒(能)成立问题；

不等式恒能成立问题都可以转化为函数的最值问题

2.不等式恒(能)成立问题能解决已知函数单调性或不等式成立求参数范围，证明不等式等题型.

3.(1)求参数取值范围：分离常数，分类讨论