八年级数学上册《多边形》讲义.docxVIP

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第八讲多边形

【要点梳理】

知识点一、多边形的概念

1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

凸多边形凹多边形2.多边形的分类:

凸多边形

凹多边形

要点诠释：

(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；

(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．

知识点二、多边形内角和定理

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

要点诠释：

(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；

知识点三、多边形的外角和

多边形的外角和为360°．

要点诠释：

(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；

(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．

【典型例题】

类型一、多边形的内角和

1.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？

举一反三：

【变式】小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为．

（1）求这个多加的外角的度数；

（2）求这个多边形的边数．

类型二、求不规则图形内角和

2.如图1是一个五角星

（1）计算：的度数．

（2）当向上移动，过点时，如图2，五个角的和（即有无变化？说明你的理由．

举一反三：

【变式】在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图（1）中，求的度数等于多少时，我们可以连接，利用三角形的内角和则有，这样、、、、的和就转化到同一个中，即.

．

尝试练习：

图（2）中的度数等于．

图（3）中的度数等于．

图（4）中的度数等于．

类型三、多边形中对角线问题

3.如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形多边形的边数及其对角线条数的关系，再完成下面问题：

若一个多边形是七边形，它的对角线条数为，边形的对角线条数

为（用表示）．

（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．

类型四、多边形内角和与外角和定理的应用

4.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么度．

A．90 B．80 C．70 D．60

5.探究发现

探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

如图甲，、为的两个外角，则与的数量关系．

探究二：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，；

（1）如图①，，则；（用，表示）

（2）如图②，，请在图中画出，且；（用，表示）

（3）一定存在吗？如有，直接写出的值，如不一定，直接指出，满足什么条件时，不存在．

【复习巩固】

一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则

A． B． C． D．

一个边形从一个顶点出发可以画4条对角线，则它的内角和为

B． C． D．

3．如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，这样一直下去，直到他第一次回到出发点为止，他所走的路径构成了一个多边形．小明一共走了米？这个多边形的内角和是度？

4．如图所示，则度．

5．如图所示，．

6．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．

7．一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为，求这个多边形的边数及这个多边形的对角线条数．

8．一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为，求这个多边形内角和的度数和边数．