主成分分析(修改后) .pdfVIP

1.基于主成分分析的空气污染数据探究

摘要本文讨论了有关分析处理空气污染数据的问题。

对于问题一比较样本协方差矩阵和样本相关矩阵主成分分析的结果差异。首

先,本文采用降维的思想，运用主成分分析法减少变量的个数，借助Matlab软

件建立有关7项指标的协方差矩阵和样本相关矩阵，得出其特征值和特征向量；

其次，分别计算各自主成分的贡献率，对于样本协方差矩阵，前三个主成分的贡

献率分别为87.20%，95.33%和98.62%，对于样本相关矩阵，根据主成分个数提

取原则,提取特征值大于1的成分，从而确定三种主成分,它们在反应样本数据信

息中所占的贡献率分别为33.03%，19.76%和17.30%；从而发现样本相关矩阵的

求解结果更符合实际。

对于问题二选择三个或者更少的主成分反映原始数据的变化及原因。样本协

方差矩阵的前三个主成分累计贡献率为98.62%，而样本相关矩阵的前三个主成

分累计贡献率为70.09%；从而得出结论：样本相关矩阵的结论更符合实际，确

定空气污染程度需根据原始数据综合前三个样本成分。

考虑到各主成分之间存在的相互依赖关系，将模型进行推广，进一步运用回

归分析法预测和控制空气污染的主要成分，得到的结果将更加贴近实际情况。

关键词主成分分析；降维思想；空气污染

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一、问题重述

已知某城市在42天中中午12点的7项空气污染数据：风速、太阳辐射、、

CO

NO、NO、O、HC，完成以下问题：

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问题一：分别利用样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，比较二者

结果差异；

问题二：选择三个或者更少的主成分反映原始数据的变化并作出解释。

二、问题分析

空气污染是现下较为严重且广受关注的热点问题，研究污染空气的主要因素

及特点有助于控制空气污染源，为改善环境提供必要依据。

由于题目所给数据较多，需要对其进行处理分析，因此本文将采取主成分分

析法（[1]）分析影响空气污染的主要因素。

对于问题一：首先，利用Matlab求出样本协方差矩阵和样本相关矩阵；其

次，分别计算这两个矩阵的特征值与特征向量，及相应的主成分贡献率与累计贡

献率；比较结果分析其差异；

对与问题二：根据累计贡献率的大小，选择前几个主成分代替原来的7个变

量，使得信息损失最小，并对比所选取的主成分与原始数据对比做出合理解释。

三、模型假设

1.假设已知数据均真实有效，具有统计价值；

2.忽略其他对空气污染造成微小影响的空气成分。

四、符号说明

符号符号含义

样本方差

ii

x原始变量

Y样本主成分

Cov(X,X)样本协方差

ij

样本相关矩阵

样本平均值

i

2

协方差矩阵

P特征向量矩阵

矩阵的特征值

e矩阵的特征向量