课时作业24 导数与不等式、零点（教师版）.docxVIP

课时作业24导数与不等式、零点

1．(2024·山东菏泽市·高三一模)已知函数.

(1)若有唯一零点，求的取值范围;

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)或；(2).

【解析】(1)由有唯一零点，

可得方程，即有唯一实根，

令，则

由，得由，得

在上单调递增，在上单调递减.

，

又所以当时，;

又当时，

由得图象可知，或.

(2)恒成立，且，

恒成立，

令，则，

令，则，

在单调递减，

又，

由零点存在性定知，存在唯一零点，使即，

两边取对数可得即

由函数为单调增函数，可得，

所以当时，，，当时，，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

，

所以

即的取值范围为.

2．(2024·浙江高三月考)已知函数.

(1)若恒成立，求实数的值；

(2)若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(I)，，

又，

故是的极大值点，所以，；

另一方面，当时，，，在区间单调递减，

故在单调递增，单调递减，

所以，恒成立

(II)当时，，，

当时，，在区间单调递减，又，

故在区间有唯一实根，

①若，，

当时，，在区间单调递减，

故在区间至多有一个实根，不符合题意，

②若，令，()是方程的两不同实根，

则，则

故在区间，上单调递减，在区间上单调递增.

()，，，，同可证.

取，.

取，，

.

故在，，各存在一个零点，

实数的取值范围是.

3．(2024·湖北荆门市·高三月考)已知函数有两个不同的零点.

(1)求实数的取值范围；

(2)记的极值点为，求证：.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】解：(1)由得，

∵函数有两个不同的零点，，

∴在上不单调，

∴，

令得，得，

故在上单调递增，在上单调递减，

则的极大值为，

∴，∴.

∵时，时，

∴的取值范围是.

(2)由(1)知，

∵，∴，

∴.

令，，则，且，

要证，只需证.

下面先证明，

这只要证明，设，所以只要证明

，设，

则，所以递增，

则成立.于是得到，

因此只要证明，构造函数，

则，故在上递减，在上递增，

则，即成立.

4．(2024·辽宁高三其他模拟())已知函数．

(Ⅰ)设函数，当时，证明：当时，；

(Ⅱ)若有两个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)

，

所以在上为单调递增函数，

且，

当时，.

(Ⅱ)设函数，则，

令，

当时，当时，，

当时，，得，

所以当时，，

在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，

至多一个零点不符合题意舍去.

当时，有，

此时有两个零点，设为，且．

又因为，，

所以.

得在，为单调递增函数，

在上为单调递减函数，且，

所以，，

又因为，，

且图象连续不断，

所以存在唯一，使得，

存在唯一，使得，

又因为，

所以，当有两个不同的零点时，.

5．(2024·山西晋中市·高三二模())已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)对，都有成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】(1)，

令，

①当时，，

在上，，所以单调递增．

②当时，，令，

得，且，

所以当时，，所以单调递增；

当时，，所以单调递减．

③当时，，

当时，，

在上，，所以单调递增．

当时，，令，

得，且，

所以当或时，，所以单调递增；

当时，，所以单调递减．

综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

(2)因为，根据(1)的讨论可知，当时，在上单调递增，所以在上单调递增，所以成立．

当时，在上单调递减，时，，

所以存在使得，故此时不成立．

当时，在上单调递增；在上单调递减，而，所以当时，单调递减，此时，不合题意．

综上可得：．

6．(2024·湖南永州市·高三二模)已知函数，.

(1)讨论在上的单调性；

(2)当时，讨论在上的零点个数.

【答案】(1)答案见解析；(2)有3个零点.

【解析】(1)，，

当时，恒成立，则在上单调递减；

当时，令，则，令，则，

若，即时，在上单调递增；

若，即时，在上单调递减；在上单调递增；

(2)当时，，

令，得，

令，则，

所以为奇函数，且，

所以0是的一个零点，

令，则，

当，，则在上单调递增，

令，则在上单调递增，在上单调递减，

令，则恒成立，所以在上单调递减，

所以，则，

令，则，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

又，，则当时，恒成立，

即当时，恒成立，所以当时，恒成立，

所以当时，恒成立，

当时，，所以在上单调递增，

又，，

所以在上有且只有一个零点，设该零点为，

因为为奇函数，所以在上的零点为，

所以在上有3个零点，分别为，0，，

所以在上有3个零点.

7．(2024·全国高三开学考试())已知函数.

(1)证明：当时，函数有唯一的极