定积分在几何上的应用.pptVIP

定积分有着广泛的用途,

先介绍建立定积分的一种简便方法--

元素法(微元法)

下面介绍它在几何,

物理和经济等问题上的简单应用.

什么量可以用定积分表示出来?

5.6定积分在几何上的应用

(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;

那么可以考虑用定积分来表达这个量U.

(2)U对于区间[a,b]具有可加性.

就是说,如果把区间[a,b]分成许多局部区间,

当所求量U符合以下条件：

那么U相应地分成许多局部量,而U等于所有部

分量之和.

元素法的一般步骤：

这个方法通常称为元素法(微元法).

(1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x

即为所求量U的积分表达式.

为积分变量,并确定它的变化区间[a,b];

求这两条曲线

及直线

所围成的区域的面积A.

它对应的面积元素dA为

即

1.直角坐标系下平面图形的面积

6.1.1平面图形的面积

在[a,b]上任取一区间

求由曲线

和直线

所围成的区域的面积A.

的面积元素dA为

它对应

小区间

解

两曲线的交点

选x为积分变量

例1计算由两条抛物线和

所围成

的图形的面积.

面积元素

解

两曲线的交点

选y为积分变量

例2计算由曲线和直线

的图形的面积.

所围成

所求面积

如果曲边梯形的曲边为参数方程

曲边梯形的面积

2.参数方程情形下求平面图形的面积

与终点的参数值.

解1

曲线的参数方程为

由对称性,总面积等于4倍第一象限局部面积.

作变量代换,

例3求椭圆的面积.

解2

其中

由对称性,总面积等于4倍第一象限局部面积．

例3求椭圆的面积.

面积元素

曲边扇形的面积

由极坐标方程

给出的平面曲线和射线

所围成的面积A.

曲边扇形

3.极坐标系下求平面图形的面积

解

利用对称性知

例4求心形线

图形的面积.

所围平面

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条

圆柱

圆锥

圆台

6.1.2体积问题

1.旋转体的体积

直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴．

旋转体的体积为

如果旋转体是由连续曲线

直线

及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋

转一周而成的立体,求体积.

取积分变量为x,

为底的

小曲边梯形绕x轴旋转而

成的薄片的

体积元素

旋转体的体积为

思考:由连续曲线

直线

及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的

立体,求其体积.

取积分变量为x,

小曲边梯形绕y轴旋转而

成的体积元素

解

例5求由椭圆围成的图形绕x轴旋

这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆

转一周所得旋转体的体积.

与x围成的图形绕x轴旋旋转而成.

所求体积为

如果旋转体是由连续曲线

及y轴所围成的曲边梯形绕y轴

旋转一周而成的立体,求体积.

直线

体积元素

旋转体的体积

解

两曲线的交点为

绕y轴旋转所得体积

y轴旋转所得旋转体的体积.

例6求抛物线所围成图形绕

2.平行截面面积的立体的体积

立体体积

A(x)表示过点x且

垂直于x轴的截面面积，

A(x)为x的连续函数.

轴的两平面之间，

体积元素

解

取坐标系如图,

底圆方程为

截面面积

立体体积

垂直于x轴的截面为直角三角形.

例7一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，

并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立

体的体积.

底

高

弧长元素

弧长为

6.1.3平面曲线的弧长

1.直角坐标情形

取积分变量为x,

上任取小区间[x,x+dx],

在[a,b]上有一阶连续导数.

在[a,b]

设曲线弧的参数方程为

弧长为

2.参数方程情形

解

星形线的参数方程为

根据对称性

第一象限局部的弧长

例8求星形线的全长.

设曲线弧的极坐标方程为

弧长为

3.极坐标情形

由直角坐标与极坐标的关系可得