高中数学人教A版选择性必修一复习课：圆锥曲线中的最值问题研究.docx

圆锥曲线的最值问题

【教学分析】

本节课是有关圆锥曲线的最值问题，是在学习了直线与圆锥曲线位置关系后进一步研究相关问题。本节课通过例题讲课，使学生体会几何法和代数法的解题特征和方法过程。

【教学目标】

掌握几何法和代数法求圆锥曲线的最值问题。会观察圆锥曲线和直线的位置关系和几何特征，会运用函数思想、基本不等式、导数求最值。

【教学重难点】

重点：几何法、代数法求圆锥曲线最值问题。

难点：找几何特征，运用函数思想、基本不等式求最值。

【教学过程】

新课讲解

题型1：距离或长度的最值问题

例1：知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值.

【解析】（1）的焦点为，双曲线的渐近线方程为，

不妨取，即.

由点到直线的距离公式得，得，

所以抛物线的方程为.

（2）由(1)知，，.

当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，

直线斜率不为0，故设直线的方程为，

联立消去并整理，得，，

设，，则，，

，

∴.

易得点的坐标为，

∴的中垂线方程为，

令得，∴，

从而，

∴，

∴当且仅当时，取最小值.

题型2、与面积有关的最值问题

抛物线被直线截得的弦的中点的纵坐标为1．

(1)求的值及抛物线的准线方程；

(2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点，求四边形的面积的最小值．

【答案】(1)；准线方程为；(2)32

【解析】（1）解法一：设抛物线与直线交于，．

整理得，所以，

因为所以，

则抛物线方程为，准线方程为；

解法二：设抛物线与直线交于，．

因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，，

则，

作差得，

所以，

因为，所以

则抛物线方程为，准线方程为

（2）解法一：依题意设直线的方程为，，，．

联立方程组整理得，

故

所以

因为，直线的方程为，

同理可得

所以

当且仅当，即时，取等号．

所以四边形面积的最小值为32．

解法二：依题意设直线的方程为，，，．

联立方程组整理得，

故．

所以

因为，同理可得

所以，

当且仅当，即时，取等号．

所以四边形面积的最小值为32．

题型3、与面积有关的最值问题

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；

(3)若，且，求的最大值．

【答案】(1)；(2)；(3)

【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；

（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；

（3）设，，由向量共线得到，将两点坐标代入椭圆方程中，求出，从而表达出，结合基本不等式求出最值.

【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，

由题意得，故，

故椭圆的方程为．

（2）因为，，所以的方程为，

由，解得点Q的坐标为．

设过P，Q，三点的圆为，

则，解得，，，

所以圆的方程为；

（3）设，，

则，，

因为，所以，即，

所以，解得，

所以

，

因为，所以，当且仅当，

即时，取等号．最大值为

习题巩固

1．已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为.

2.已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点；

(3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.

1．/

【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值．

【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，

设,,,

所以：．

由于，故时，有最小值，且的最小值，

故答案为：

2.(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据双曲线与双曲线有相同的渐近线方程求出可得答案；

（2）可设其方程为，与双曲线方程联立，设，，由韦达定理代入的坐标运算可得答案；

（3）设点在直线上的投影为，当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最值.

【详解】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程，

所以，即，又，从而，

所以双曲线的方程为；

（2）显然直线不与轴平行，可设其方程为，

由，得，

设，，则由韦达定理可得，，

因为，所以，

即，

整理得，即，

而显然直线不经过点，所以，，

故直线经过定点，得证.

（3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点，

所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值，

此时，所以点到直线距离的最大值为.