轴对称与等腰三角形复习资料.docVIP

轴对称图形

知识点睛

1.轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如以下图1，是轴对称图形．

2.两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如以下图2，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．

图1图2

3.轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：

轴对称图形

两个图形轴对称

区别

图形的个数

1个图形

2个图形

对称轴的条数

一条或多条

只有1条

联系

二者都的关于对称轴对称的

4.对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

5.线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如图，直线经过线段的中点，并且垂直于线段，那么直线就是线段的垂直平分线．

6.线段垂直平分线的性质

〔1〕垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，假设点C在直线m上，那么AC＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等

〔2〕线段关于它的垂直平分线对称.

7、角平分线的性质定理：

〔1〕角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：如图，OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，假设CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，那么CF＝DF.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

8.成轴对称的两个图形的对称轴的画法：

如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．

9.成轴对称的两个图形的主要性质：

①成轴对称的两个图形全等

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线

轴对称变换的方法应用：

轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．

10.轴对称变换应用时有下面两种情况：

⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；

⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．

11.等腰三角形

1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．

3．等腰三角形的性质：

(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．

4．等腰三角形的判定：

(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．

5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于．

6．等边三角形的判定：

(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．

(3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形．

7．等腰直角三角形的性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等．

等腰直角三角形的判定：(1)顶角为的等腰三角形．(2)底角为的等腰三角形．

定理及其推论的作用。

8.等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

.9.等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时那么需要作高或中线，这要视具体情况来定。

〔3〕定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

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说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边