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课时作业48数学化

1．西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积为球缺所在球的半径，为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为，壶口直径为（如图，则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，取

A． B． C． D．

【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可．

【解答】解：如图作出几何体的轴截面如下面所示，

依题意，，为球心，为壶口所在圆的圆心，所以，

因为，所以，且，，

所以球的半径，所以球缺的高，

所以球缺的体积，

所以该壶壶身的容积约为：．

故选：．

【小结】本题主要考查了球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．

2．《九章算术》是世界数学发展史上的一颗璀璨明珠，书中《商功》有如下问题：今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积及为菽各几何？其意思为：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积是多少立方尺？应有大豆是多少斛？

主人欲卖掉该堆菽，已知圆周率约为3，一丈等于十尺，1斛约为2.5立方尺，1斛菽卖300钱，一两银子等于1000钱，则主人可得银子两

A．40 B．42 C．44 D．45

【分析】推导出，解得（尺，求出这堆大豆的体积（立方尺），由此能求出结果．

【解答】解：现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺，圆周率约为3

，解得（尺，

这堆大豆的体积（立方尺），

（斛，

主人欲卖掉该堆菽，则主人可得银子：

（两．

故选：．

【小结】本题考查圆锥的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

3．如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形各边的三等分点，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由△，△，构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于

A． B． C． D．

【分析】分别计算出阴影部分面积和正六边形的面积，即可求解．

【解答】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列，每个阴影三角形的面积构成数列

设，则，，．

依此类推，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，

又，

所以，，．

依此类推，，

则数列的前项和

，

如果这个作图过程可以一直继续下去，则，此时，

正六边形的面积为，

故该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于．

故选：．

【小结】本题考查数列的应用，属于中档题．

4．英国数学家亚历山大艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列．已知音的频率为，音分值为，音的频率为，音分值为．若，则

A．400 B．500 C．600 D．800

【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解．

【解答】解：由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，

设第一个音为，所以，

所以，

又因为，

所以．

故选：．

【小结】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．

5．17世纪，法国数学家马林梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上，对为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数．除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实．人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为．几千年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：

A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6

【分析】根据题意可知，，，结合对数的运算性质，求解即可．

【解答】解：根据题意可知，，．

．

故选：．

【小结】本题考查函数模型的应用，属于中档题．

6．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为

A．4 B．7 C．16 D．31

【分析