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圆的方程

1、圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.

2、点与圆的位置关系：

已知点及圆，

（1）点M在圆C外；

（2）点M在圆C内；

（3）点M在圆C上。

3、圆的一般方程：.

当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.

当时，方程表示一个点.

当时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程表示圆的充要条件是：且且.

4、圆的直径式方程：已知是圆的直径的两个端点，则圆的方程为

5、圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程来说，圆的方程还有另外一种表达形式为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。

一、求最值

例1已知点（x，y）在圆上，求的最大值和最小值。

【解】圆的参数方程为：。

则=

==，则（k∈Z）时，的最大值为：；（k∈Z）时，的最小值为。

Cx

C

x

y

O

A

B

图1

二、求轨迹

例2在圆上有定点A（2，0），及两个动点B、C，且A、B、C按逆时针方向排列，∠BAC=，求△ABC的重心G（x，y）的轨迹方程。

【解】由∠BAC=，得∠BOC=，设∠ABO=θ（），则B(2cosθ,2sinθ)，C(2cos(θ+)，2sin(θ+))，由重心坐标公式并化简，得：，由，知0≤x＜1，

消去θ得：（0≤x＜1）。

【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。

三、求范围

例3已知点P（x，y）是圆上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求c的取值范围。

【解】圆的参数方程为：，则有：x+y=1+sinθ+cosθ=1+，－（x+y）=－1－，－（x+y）的最大值为：－1+，由于x+y+c≥0，所以，c≥－（x+y）恒成立，即c≥－1+。

【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。

四、求斜率

Oxy(2,1)

O

x

y

(2,1)

图2

【解】函数的值，是以原点为圆心的单位圆上的点（cosθ，sinθ）与点（2，1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求得最大值为：，最小值为：0。

6、常见的圆系方程

1、同心圆系

以为圆心的同心圆系方程：

与圆＋＋＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：＋＋＋＝０

2．过两定点的圆系

过两已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆系方程为

方程的前半部分为以AB为直径的圆的方程表达式，后半部分为直线AB的两点式的表达式，当λ=0时，方程为以AB为直径的圆的方程．

例1、求过点A(5，2)和B(3，－2)且圆心在直线2x－y=3上的圆的方程．

解：设所求圆方程为(x－5)(x－3)＋(y－2)(y＋2)＋λ[(x－5)(－2－2)－(y－2)(3－5)]=0，即x2＋y2－4(λ＋2)x＋2λy＋16λ＋11=0，圆心(2(λ＋2)，－λ)代入直线方程得4(λ＋2)＋λ=3，解得λ=－1，所以所求圆方程为x2＋y2－4x－2y－5=0．

例2、求与已知圆－7y＋10=0相交，所得的公共弦平行于直线2x－3y－1=0且过(－2，3)，(1，4)两点的圆的方程．

解：设所求圆的方程为(x＋2)(x－1)＋(y－3)(y－4)＋λ[(x＋2)(4－3)－(y－3)(1＋2)]=0，即x2＋y2＋(λ＋1)x－(3λ＋7)y＋11λ＋10=0，两圆相减得公共弦所在的直线方程…………

3．过圆与直线交点的圆系

过直线＋＋Ｃ＝０与圆＋＋＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）

例1;求经过直线：与圆Ｃ：的交点且面积最小的圆的方程．

解：设圆的方程为：＋＝０

即＋＋（1＋4）＝０则，当＝时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：＋26－12＋37＝０

例2：已知圆与直线相交于P，Q两点，O为坐标原点，若，求实数m的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：

，即

….①

依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则，故。

4．过两圆交点的圆系

若两圆与相交于A、B两点，则过A、B两点的圆系方程为：＋(λ≠－1此圆系不含）

当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程．若λ=－1，表示公共弦AB所在直线(两圆相切时为公切线)的方程．

注：为了避免利用上述圆系