工科数学分析基础上册D1-2.pptVIP

第一章

二、收敛数列的性质

三、数列收敛性的判别法那么

一、数列极限的定义

第二节

数列的极限

2

一.数列

例如

通项

假设数列

及常数a有以下关系:

当nN时,

总有

记作

此时也称数列收敛，否那么称数列发散.

几何解释:

即

或

那么称该数列

的极限为a,

二.数列的极限

定义2.1

3.

说明：

1.

定义中的

2.

正整数

与

此定义可以验证

刻画了

的极限，

有关，

所以记作

是数列

而不能用于

求极限或者判定该数列的极限是否存在。

是任意给的正数，

与

的接近程度。

5

例1.

证明:

证明：

例2.

证明:

证明:

7

定理2.1〔唯一性〕

收敛数列的极限是唯一的

证：(用反证法)

三.收敛数列的性质

8

定理2.2〔有界性〕收敛数列一定有界.

证:设

取

那么

当

时,

从而有

取

那么有

由此证明收敛数列必有界.

说明:此性质反过来不一定成立.

例如,

虽有界但不收敛.

有

数列

定理2.3〔有理运算法那么〕

设

那么

〔1〕

〔2〕

〔3〕

10

证明：〔以法那么1为例〕：

由

所以

11

例3.求

解：由于

根据有理运算法那么得

12

例4.求

解：因为

根据有理运算法那么得

13

例5.求

解：因为

所以

14

定理2.4〔保号性〕

收敛数列是保号的

证：

15

推论2.1〔保序性〕

设

假设

使得对于

恒有

那么

证:

由条件(2),

当

时,

当

时,

令

那么当

时,有

由条件(1)

即

故

定理2.5夹逼准那么

17

例6.计算

解：

18

例7证明：

证：

19

四.收敛准那么

定理2.5单调有界数列必有极限

单调增，有上界数列必有极限

单调减，有下界数列必有极限

20

单调有界数列

必有极限

证明：

单调减，有下界

例8.证明：

*********************

证:设数列

是数列

的任一子数列.

假设

那么

当

时,有

现取正整数K,使

于是当

时,有

从而有

由此证明

*********************

定理2.6收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.

*********************

*********************

数列的子数列〔子列〕

定理2.7数列极限的归并原理

由此性质可知,

假设数列有两个子数列收敛于不同的极

限,

例如，

发散!

那么原数列一定发散.

的充要条件是对于

的每个子列

都有极限

定理2.8(Cauchy收敛原理)

数列

极限存在的充要条件是:

存在正整数N,

使当

时,

证:“必要性”.

设

那么

时,有

使当

因此

“充分性”证明从略.

有

柯西

例9.设

证明数列

证:要证

收敛，只要证明它满足Caucy条件。

由于

柯西

收敛。

所以，

故原数列满足Cauchy

柯西

只要取

那么

及

恒有

条件，所以收敛。

例10.设

证明数列

证：要证

发散，只要证明它不满足Cauchy条件，

使

也就是说，只要证明

就行了，对于

取

发散。

由于

故

不满足Cauchy条件，发散。

内容小结

1.数列极限的“–N”定义及应用

2.收敛数列的性质:

唯一性;有界性;保号性;

任一子数列收敛于同一极限

3.极限存在准那么:

夹逼准那么;单调有界准那么;柯西准那么

29

P397(1)(3),10(2),

11(1)(3)(5)，16

作业

柯西(1789–1857)

法国数学家,

他对数学的奉献主要集中

在微积分学,

《柯

西全集》共有27卷.

其中最重要的的是为巴黎综合学

校编写的《分析教程》,

《无穷小分析概论》,《微积

分在几何上的应用》等,

有思想有创立,

响广泛而深远.

对数学的影

他是经典分析的奠基人之一,

他为微积

分所奠定的根底推动了分析的开展.

复变函数和微分方程方面.

一生发表论文800余篇,著书7本,