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电场的高斯定理

§1．4电场的高斯定理GAUSS，LAW

(教材p45)

1.电场线（ElectricFieldLines）

大家已经知道，电场强度E是空间坐标的矢量函数.

为了形象地描述电场，我们设想电场中分布着一族曲线，并规定这些曲线每一点上的切线方向，

与该点电场强度E的方向一致.我们把这些曲线称为电场线，简称E线.

下图示出几种情形下静电场的E线分布.

从上述例子我们看到，静电场的E线有如下性质

(1)静电场的E线始发于正电荷而终止于负电荷，所以静电场的E线不形成闭合曲线；

在没有电荷存在的点上，E线连续

通过，也有可能E=0（试从上图找出这样的点）.

(2)在任何客观存在的电场中，每一点上的试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定的

作用力，因此每一点上的E只能有一

个确定的值，因而E必定是空间坐标的单值函数，故任何两条E线都不可能相交.

2.电通量(ElectricFlux)

按上述图象，通过某处单位截面的E线条数，即“E线密度”，决定于该处的场强E。也就是

说，E值大处，“E线密度”大,反之,“E线密度”小（见上图）.现在,我们引入“电通量”

概念.

设想电场中有一非闭合曲面S，dS是S上某点P附近一个无限小面积元矢量，并规定dS的方

向沿曲面在该点的法向，即

我们称

d=E·dS=EdScos（1.4-1）

为通过该面元的电通量，单位为伏特·米（Vm）.

显然，当

0≤θ/2,d0(正值)

/2θ≤,d0(负值)

θ=/2，d=0（E线仅从该面元掠过）

通过整个S面的总电通量为

（1.4-2）

这是一个面积分（二重积分）

对于闭合曲面，规定面元矢量dS沿曲面各点的外法线方向.于是，通过任意闭合曲面的总电通

量：

3.电场的高斯定理

高斯定理：通过任意闭合曲面S的电通量，正比于S内包含的总电量(净电量)，与S外的电荷

分布无关.即

（1.4-4a）

右方求和因子表示S内的总电量.

[证明]

（1）一个点电荷q处于S内的情形

以q为中心作任意半径r的球面，此球面任

一点的电场强度为

而球面面元矢量

求电场就要方便得多.

下面讨论三种重要的对称性——球对称性、无限长直线对称性、无限大平面对称性的情形.

球对称性（SphericalSymmetry）

一个点电荷q的电场，就是球对称电场最简单的例子,q所在点就是对称中心（the

centerofsymmetry）.

事实上，如果电荷分布函数r仅与离开坐标原点的距离r有关，而与q和f无关,

即r=r（r），则r就具有

球对称性，它的电场必定有着同样的对称性.

[例1-5]均匀带电的薄球壳（AThinSphericalShellCarryingUniformlyCharge）的电场.

球壳半径为a、总电荷为q(教材p61)

[解]我们把球壳看得非常薄，电荷q均匀地分布在球面上，密度函数为

电荷的球对称分布,决定了电场也有球对称分布，即任一半径的球面上，各点的场强E都相等，

且E只有径向

分量：E=E.而球面元矢量dS=dS.

在球外区域，半径为r(r≥a)的高斯面包含着全部电荷q，于是由

即

得（当r≥a）球外电场相当于全部电荷q集中于球心o的点电荷所产生在球

内区域，任意半径的高斯面包含的电荷均为零，由高斯定理得E=0（当ra）

大家试从电场叠加原理，判断上述结果的正确性.

问题：某一球面内部（或任意闭合曲面内部）包含的

净电荷为零，其内部电场是否必定为零？

[例1-6]半径为a的球体均匀带电荷q，

求电场分布(教材p64)

[解]电荷密度函数

有球对称性.如上例一样,球外任意半径r的球面包含的电量均为q，故由高斯定理我们同样得

到球外任一点P的场强

（当