简谐振动的合成.pptxVIP

简谐振动的合成物理学

简谐振动的合成1.1相位差相位差是指两个振动在同一时刻的相位值之差。设有两个质点1、2做同方向、同频率的简谐振动，其运动方程分别为：x1＝A1cos（ωt＋φ1），x2＝A2cos（ωt＋φ2）则它们在任意时刻的相位差Δφ为：Δφ＝（ωt＋φ2）－（ωt＋φ1）＝φ2－φ1由上式可知，两个同方向、同频率的简谐振动，在任意时刻的相位差都等于它们的初相位差，为一恒量。

如果Δφ＝φ2－φ1＞0，则在振动过程中，质点2将始终比质点1先到达任一特定的振动状态，如左图所示，两振动的步调存在一个确定的差异，此时，我们称质点2的振动超前质点1的振动，或质点1的振动落后质点2的振动。如果Δφ＝φ2－φ1＝±2kπ（k＝0，1，2，…），则两质点将同时到达任一特定的振动状态，如中图所示，两振动的步调完全一致，此时，我们称两振动同相。如果Δφ＝φ2－φ1＝±（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），则两振动的步调完全相反，例如，一个质点到达正最大位移时，另一个质点到达负最大位移，如右图所示，此时，我们称两振动反相。

1.2两个同方向、同频率简谐振动的合成若一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动，其运动方程分别为：x1＝A1cos（ωt＋φ1），x2＝A2cos（ωt＋φ2）因两个振动的方向相同，由运动的叠加原理可知，质点的合振动位移等于两个分振动位移的代数和，即x＝x1＋x2＝A1cos（ωt＋φ1）＋A2cos（ωt＋φ2）应用旋转矢量法可以更直观、更简洁的得出合振动的规律。

如下图所示，取坐标轴Ox，画出两个分振动的旋转矢量A1和A2，它们在Ox轴上的投影x1和x2分别表示两个分振动的位移。根据平行四边形法则，可作出合矢量A＝A1＋A2，它在Ox轴上的投影x表示合振动的位移，可以看出，x＝x1＋x2。t＝0时，合矢量A与Ox轴的夹角为φ。由于A1和A2以相同的角速度ω逆时针旋转，在旋转过程中，其夹角φ2－φ1保持不变，因此，平行四边形OM1MM2的形状在旋转中保持不变，即合矢量A的模保持恒定，且以同一角速度ω与A1、A2一起绕O点逆时针旋转。

于是，根据旋转矢量法，可得合振动的运动方程为：x＝Acos（ωt＋φ）上式表明，两个同方向、同频率简谐振动的合振动仍为简谐振动，其频率与分振动的频率相同，其振幅和初相可由上图所示几何关系求得：上式表明，合振幅A的大小不仅与分振动的振幅有关，而且还与它们的相位差Δφ＝φ2－φ1有关。下面讨论两种特殊情况1．若相位差Δφ＝φ2－φ1＝±2kπ（k＝0，1，2，…）则

上式表明，当两个分振动同相，即其相位差为π的偶数倍时，合振动的振幅为两个分振动的振幅之和，合成结果为两个振动相互加强，此时合振幅最大。2．若相位差Δφ＝φ2－φ1＝±（2k＋1）π（k＝0，1，2，…），则上式表明，当两个分振动反相，即其相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅为两个分振动振幅之差的绝对值，合成结果为两个振动相互减弱，此时合振幅最小。若两分振动的振幅相等，则此时合振动振幅为零。一般情况下，相位差Δφ并不是π的整数倍，此时，合振幅就介于|A1－A2|和A1＋A2之间。

【例10-5】一质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动周期都为4s，振幅分别为A1＝0.06m，A2＝0.104m，初相分别为φ1＝π/3，φ2＝5π/6，求合振动的振幅、初相及运动方程。【解】根据题意可知两个简谐振动的角频率为：则两简谐振动的运动方程分别为：

根据式（10–20）和式（10–21）可得合振动的振幅和初相分别为：所以，合振动的运动方程为：

1.3两个同方向、不同频率简谐振动的合成两个同方向、不同频率简谐振动的合成结果比较复杂，为了便于理解，设两分振动的振幅和初相相同，则两分振动的运动方程为：x1＝Acos（ω1t＋φ），x2＝Acos（ω2t＋φ）合振动为：x＝x1＋x2＝Acos（ω1t＋φ）＋Acos（ω2t＋φ）根据三角函数公式，上式可化为：

由上式可以看出，两个同方向、不同频率简谐振动的合振动虽然仍与分振动的方向相同，但