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2024年中考数学最值问题模型知识点梳理汇总

最值问题1-将军饮马

一.将军饮马：

1.标志特点：折线段和最小、差最大问题

2.基本方法:翻折“”

3.核心思想:

①在哪找点，关于谁翻折；

②翻定(点)不翻动(点);

③异侧和最小，同侧差最大.

4.考点：①两点之间线段最短；②点到直线垂线段最短

二.和最小：

1.模型1:如图1,A、B为定点,P为l上动点,求AP+BP最小值.

分析：①折线段和最小→“将军饮马”

②在/上找点，关于/翻折

③异侧和最小，使得AP和BP在I的不同侧，翻折定点那么翻折A、B都可以

解析:①翻折AP,则AP+BP=CP+PB≥BC(两点之间线段最短)

②所求P点为BC与l的交点

2.模型2:

(1)如图2,A为定点,B、C分别为l₁、l₂上的动点,求△ABC周长最小值.

(2)如图3,A、D为定点,B、C分别为l₁、l₂上的动点，求四边形ABCD周长最小值.

解析：

(1)①翻折AB、AC则AB+BC+AC=BD+BC+CE≥DE

∴最小值为DE

②所求B、C为DE与l₁、l₂的交点.

(2)①翻折AB、DC则AB+BC+CD+AD(定值)=BE+BC+CF≥EF+AD(定值)

②所求B、C为EF与l₁、l₂的交点.

3.模型3:如图4,A为定点,B、C分别为直线l、OA上的动点,试求AB+BC最小值.

解析:①翻折AB至DB,则AB+BC=BD+BC≥DE(点到直线垂线段最短)②B、C为DE与直线l、OA的交点.

4.模型4:将军饮马有距离“”

(1)如图5,A、D为定点,B、C为直线l上两动点,BC为定值,求AB+BC+CD最小值?

(2)如图6,A、D为定点,B、C为直线l₁、l₂上的动点,BC⊥l₁,求AB+BC+CD最小值?

解析：

(1)①BC为定值,只需求AB+CD最小即可;②平移AB至CE,则变成求CE+CD最小,基本将军饮马.

(2)①BC为定值,只需求AB+CD最小即可;②平移CD至BE,则变成求AB+BE最小,基本将军饮马.

三.差最大

1.口诀：同侧差最大

2.图形:如图1所示,A、B为定点,P为l上一动点,试求|PB-PA|的最大值与最小值.

解析1：“最大值”

①两边只差小于第三边,|PB-PA|≤AB,当A、B、P三点共线时,取等号

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②所以连接BA并延长与l的交点即为所求点

解析2：“最小值”

①绝对值具有非负性|PB-PA|≥0,当AP=PB时成立

②P为AB中垂线与l的交点.

四.费马点：

1.标志特征：“丫”线最值

2.图形:如图3,D为△ABC内部一动点,试求ᵃᵃ+ᵃᵃ+ᵃᵃ的最小值.

解析：以△ABC一边(例如AB)向外作等边三角形，连接对角线CE，则CE即为.ᵃᵃ+ᵃᵃ+ᵃᵃ的最小值.

证明：

Step1:将△ABD向外旋转60°,则可得

①AD=EF;②等边△BDF→BD=DF

Step2:DA+DB+DC=CD+DF+EF≥CE

最值问题2一轨迹法

一.轨迹法：

1.标志特点：遇“动点”，找轨迹

2.考点：①两点之间线段最短；②点到直线垂线段最短

3.轨迹类型:

①直线轨迹；

②圆轨迹;

二.轨迹找法

1.直线轨迹:

①直接看出；②瓜豆原理；③夹角定位法；

(1)主要说明：“夹角定位法”

如图1，l为定直线，A为l上一定点，B为动点，且AB与直线l夹角为定值，则B点的轨迹为直线l.

【示例】如图2所示,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D