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线性规划的基本概念与形解法

线性规划（LinearProgramming）是运筹学中一种重要的数学方法，

用于解决一类特定的优化问题。它的基本思想是在一组线性约束条件

下，找到一个目标函数值最优的决策变量取值。

一、线性规划的基本概念

1.目标函数与约束条件

线性规划的目标是要最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

同时，还存在一组线性等式或线性不等式的约束条件，这些约束条件

限制了决策变量的取值范围。

2.决策变量与决策向量

决策变量是指我们需要做出决策的量，它们的具体取值将会影响目

标函数的结果。通常用x1,x2,...,xn表示决策变量，构成一个决策向量

x。

3.线性约束条件与可行解集

线性约束条件是对决策变量的约束，通常表示为一组线性等式或不

等式。所有满足线性约束条件的决策向量构成了可行解集。

4.最优解与最优值

线性规划的最优解是指在满足约束条件的前提下，使目标函数达到

最大值或最小值的决策向量。最优值则是目标函数在最优解处的取值。

二、线性规划的形解法

1.图解法

对于二维或三维的线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来

解决。首先将目标函数用等值线或平面表示出来，然后确定可行解集

的范围，在可行解集内寻找目标函数的最优解。

2.单纯形法

单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。它通过在可行解

空间内移动顶点来逐步逼近最优解。单纯形法的基本步骤包括初始化、

构造初始单纯形表、选取离基变量和入基变量、计算新的单纯形表等。

3.对偶理论

线性规划的对偶理论是一种与原问题相对应的新问题。通过对原问

题的约束条件进行转置，构建对偶问题，并通过对偶问题的求解求得

原问题的最优解。对偶理论在某些情况下可以更快地找到最优解。

4.整数线性规划

整数线性规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。

由于整数约束的引入，整数线性规划一般比普通线性规划更加困难，

求解方法也更加复杂，常用的方法包括分支定界法和割平面法等。

三、线性规划的应用领域

线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、供应链

管理、投资组合、运输调度等。通过建立适当的目标函数和约束条件，

可以通过线性规划方法来优化决策，并提高系统的效率和经济效益。

总结：

线性规划是一种重要的优化方法，通过建立目标函数和约束条件来

寻找最优解。它的基本概念包括目标函数与约束条件、决策变量与决

策向量、线性约束条件与可行解集、最优解与最优值。线性规划的形

解法有图解法、单纯形法、对偶理论和整数线性规划。线性规划广泛

应用于各个领域，帮助决策者做出最佳决策，提高效率和经济效益。