圆的综合大题_20241206174408(1).docVIP

第PAGE1页（共NUMPAGES1页）

圆的综合大题

一．解答题（共10小题）

1．已知AB为⊙O的直径，，D为⊙O上一点，连接AD、CD．

（1）如图1，求∠D的度数；

（2）如图2，过点B作BE⊥CD于E，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，AB交CD于点F，连接AE，若∠EAB+2∠ABE＝90°，△AEF的面积为3，求CE的值．

2．等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，连接AC，AC与BD相交于点E．

（1）如图1，若∠ABD＝50°，BE＝BC，

①求∠DBC的度数；

②若，求的值．

（2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝3BC，AD＝4时，求CD的长．

3．【给出问题】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，P是的中点，连接AP，DP．求证：AP＝DP；

【深入思考】如图2，正方形ABCD内接于⊙O，点P为BC上任意一点，连接PA、PB、PC，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

【拓展应用】如图3，若四边形ABCD是矩形，点P为边AD上一点，∠BPC＝45°，PA＝1，PD＝2，试求矩形ABCD的面积．

4．已知AB，CD都是⊙O的直径，点E为弧BD上一点，连接BE，CE，且∠BEC＝45°；

（1）如图1，求证：AB⊥CD；

（2）如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，过点A作AG⊥CE，垂足为点G，交EF于点H，求证：CG＝HG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG、FG，DG交EF于点K，若∠DKE＝2∠CAG，，求EH的长．

5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，DA平分∠BDE；且AE⊥CD的延长线于点E．

（1）求证：AE是⊙O切线；

（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．

6．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点M，M为OB的中点，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E．点F在上，DF交AB于点N．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若∠CDF＝45°，，求FN的长．

7．（1）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．

①该四边形ABCD是否具有内切圆？（填“有”或“没”）；

②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是⊙O的直径；

（2）如图2，已知四边形ABCD既有外接圆，又有内切圆，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH．

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，交OB于点E，点G是弧AD上的一点，连结AG，DG，CG．

（1）求∠CGD的度数；

（2）求证：AG+DG＝CG；

（3）若CG＝8，求四边形ACDG的面积．

9．已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D，E分别为弧AC，弧BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，点D，G关于直径AB对称，连结DG．

（1）求弧DE的度数．

（2）若EG为⊙O的直径，请猜想DE与OF的数量关系，并给出证明．

（3）设EG＝x，△OEF的面积为S，若⊙O的半径为1，求S关于x的函数解析式．

10．如图，△ABC中，，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，⊙O是△ACD的外接圆，CE是⊙O的直径，且．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求BC的长；

（3）求⊙O的半径．

圆的综合大题

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．已知AB为⊙O的直径，，D为⊙O上一点，连接AD、CD．

（1）如图1，求∠D的度数；

（2）如图2，过点B作BE⊥CD于E，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，AB交CD于点F，连接AE，若∠EAB+2∠ABE＝90°，△AEF的面积为3，求CE的值．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）连接CA，BC，根据题意得到∠ABC＝∠CAB＝45°，再由圆内接四边形的性质可得∠D的度数．

（2）过点A作AN⊥CD于N，延长BE交⊙O于点G，连接CG，证明△ADN≌△GCE，且为等腰直角三角形，即可得证；

（3）连接BD，过点A作AN⊥CD于N，延长BE交⊙O于点G，连接AG，则由BE⊥CD及∠ADC＝45°可得∠BDE＝∠EBD＝45°，即有DE＝BE；由BE⊥CD，AN⊥CD，得∠NAF＝∠ABE，而∠EAB+∠AEF+∠NAF＝∠EAB+∠AEF+∠ABE＝90°，∠EAB+2∠ABE＝90°，则可得∠AEF＝∠ABE；再证明四边形ANGE是矩形，则有AG＝NE，AG∥EF；设CE＝x，NE＝a，则由（2）知AN＝DN＝GE＝x，DE＝BE＝a+x，BG＝a+2x；由EF∥AG得△BEF∽△BGA，从而有，则可求得EF；再由△EAN∽△B