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2020北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

特殊的平行四边形复习

知识点归纳

矩形

菱形

正方形

性

质

边

对边平行且相等

对边平行;四边相等

对边平行;四边相等

角

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

对角线

互相平分且相等

互相垂直平分;且每条对角线平分一组对角

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

判定

·有三个角是直角;

·是平行四边形且有一个角是直角;

·是平行四边形且两条对角线相等.

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一组邻边相等；

·是平行四边形且两条对角线互相垂直。

·是矩形;且有一组邻边相等；

·是菱形;且有一个角是直角。

对称性

既是轴对称图形;又是中心对称图形

一．矩形

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角；

性质2矩形的对角线相等;具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm;两条对角线的一个交角为600;则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补

二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分;并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1?已知：如图;四边形ABCD是菱形;F是AB上一点;DF交AC于E．

求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

例3、如图;在ABCD中;O是对角线AC的中点;过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F;求证：四边形AFCE是菱形.

例4、已知如图;菱形ABCD中;E是BC上一点;AE、BD交于M;

若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例5．（10湖南益阳）如图;在菱形ABCD中;∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点;过O点作OE⊥AB;垂足为E．

(1)求线段的长．

6、（2011四川自贡）如图;四边形ABCD是菱形;DE⊥AB交BA的延长线于E;DF⊥BC;交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7、（2011山东烟台）

如图;菱形ABCD的边长为2;BD=2;E、F分别是边AD;CD上的两个动点;且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状;并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S;求S的取值范围.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的;它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形;并且是特殊的矩形;又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形;对称中心是对角线的交点;正方形又是轴对称图形;对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线;共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形;又是菱形;所以它的性质是它们性质的综合;正方形的性质总结如下：

边：对边平行;四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等;互相垂直平分;每条对角线平分一组对角．

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形;这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质;同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

(1)有一个角是直角的菱形是正方形；

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

注意：1、正方形概念的三个要点：

（1）是平行四边形；

（2）有一个角是直角；

（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形;应先确定它是菱形或是矩形;然后再加上相应的条件;确定是正方形.

例1已知