专题04 幂函数，指数函数与对数函数（考点清单 知识导图 18个考点清单 题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点（沪教版2020必修第一册）（解析版）.docx

清单04幂函数，指数函数与对数函数

（个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】幂函数

1、幂函数的概念

定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

2、幂函数的图象与性质

（1）三个幂函数的图象

当时，我们得到五个幂函数：

；；

（2）性质

①，当时，在单调递增；

②，当时，在单调递减.

【清单02】指数函数

1、指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是.

2、指数函数的图象与性质

函数的图象和性质如下表：

底数

图象

性

质

定义域

值域

定点

图象过定点

单调性

增函数

减函数

函数值的变化情况

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

对称性

函数与的图象关于轴对称

【清单03】对数函数

1、对数函数的概念

对数函数的概念

一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是.

判断一个函数是对数函数的依据

2、对数函数的图象及其性质

函数的图象和性质如下表：

底数

图象

性质

定义域

值域

单调性

增函数

减函数

【考点题型一】根据函数是幂函数求参数

【例1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的值为.

【答案】0或2或4.

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值

【分析】由幂函数与x轴、y轴均无交点得，再根据求出m的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可.

【详解】解：由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点，

得，解得，又，

所以.

当时，，定义域为，

即函数，其图象关于y轴对称，满足题意；

当m＝1或3时，，即，

设，由，，

故其图象不关于y轴对称，不满足题意；

当m＝2时，，即，定义域为，

设，则，

所以是偶函数，则图象关于y轴对称，满足题意.

综上，m的值为0或2或4.

故答案为：0或2或4.

【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则.

【答案】

【知识点】根据函数是幂函数求参数值

【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可.

【详解】因为是幂函数，

所以,即，所以或，

当时，易知该幂函数的图象经过第一、三象限，满足题意；

当时，易知该幂函数的图象经过第一、二象限，不满足题意.

故答案为：.

【变式1-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则.

【答案】2

【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值

【分析】由幂函数的概念求出或，再利用幂函数的图象性质进行验证即可.

【详解】因为函数是幂函数，

所以，解得或，

当时，其图像不过原点，应舍去，

当，其图像过原点．

故答案为：2.

【考点题型二】求与幂函数有关的值域问题

【例2】（24-25高一上·陕西西安）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的定义域

【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.

【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；

时，定义域为，值域为，故不合题意；

时，定义域为，值域为，符合题意；

时，定义域与值域均为R，符合题意；

时，定义域为R，值域为，不符合题意；

时，定义域与值域均为R，符合题意.

故选：C

【变式2-1】（24-25高一上·河北衡水）幂函数的图象过点，则函数的值域是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式、求幂函数的值域

【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.

【详解】设，

代入点得

，

则，令，

函数的值域是.

故选：C.

【变式2-2】（24-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为.

【答案】

【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式

【分析】先求幂函数解析式，再根据幂函数单调性求最值.

【详解】设，因为的图象过，

，解得，

在上是单调递增的

在上的最大值为，

故答案为:

【点睛】本题考查幂函数解析式以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

【考点题型三】根据幂函数值域求参数或范围

【例3】（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数在0,+∞上单调递增.

（1）求的值；

（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）

【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据幂函数值域求参数或范围、求幂函数的解析式

【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，求得的可能取值，再根据在0,+∞上的单调性求得的准确值.

（2）首