八年级数学上册角平分线的性质与判定（十大题型）（原卷版） .docxVIP

（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》

2.4线段、角的轴对称性

第2课时角平分线的性质与判定

知识点一

知识点一

角的平分线的性质

◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

◆2、应用所具备的条件：

（1）点在角的平分线上；

（2）到角两边的距离(垂直).

◆3、定理的作用：证明线段相等.

◆4、角平分线的性质的几何语言：

如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE

【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.

知识点二

知识点二

角的平分线的判定

◆1、判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

◆2、应用所具备的条件：

（1）位置关系：点在角的内部；

（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.

◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上.

◆4、角平分线的判定的几何语言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴点P在∠AOB的平分线上.

★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等，

反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.

知识点二

知识点二

作已知角的平分线

◆已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分线.

作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；

(2)分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C

(3)画射线OC.则射线OC即为所求.

【注意】（1）以小于12MN的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”

题型一

题型一利用角平分线的性质解决求线段长问题

【例题1】（2023春?沈北新区期末）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（）

A．1 B．2 C．1.5 D．4

解题技巧提炼

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法.

【变式1-1】（2023?惠安县模拟）如图，△ABC中∠A的平分线AD交BC于点D，若DE⊥AB于点E，且DE＝5，则点D到AC边的距离是（）

A．10 B．6 C．5 D．4

【变式1-2】（2023春?秀峰区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，

DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【变式1-3】（2023春?龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，CD=37AC，BD平分∠ABC，则点

A．2 B．3 C．4 D．7

【变式1-4】（2022秋?辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

题型二

题型二利用角平分线的性质解求周长问题

【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（）

A．9 B．8 C．7 D．6

解题技巧提炼

求三角形的周长中，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量代换．

【变式2-1】（2023春?市南区期末）如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（）

A．8 B．12 C．18 D．30

【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC，

已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长．

题型三

题型三利用角平分线的性质解决最值问题

【例题3】（2023春?莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

解题技巧提炼

由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值.

【变式3-1】（2022秋?石狮市期末）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式3-2】（2022秋?垫江县期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，点