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常见的数学模型六瓜豆原理(主从联动问题)

古人云:种瓜得瓜，种豆得豆.种“圆”得“圆”，种“线”得“线”，谓之“瓜

豆原理”.

运动轨迹为直线

【数学建模】

1.如图1，P是直线BC上一动点，点A在直线BC外，连结AP，取AP的中点

Q，当点P在BC上运动时，点Q的轨迹是怎样的?

如图2，分别过点A，Q向BC作垂线，垂足分别为M，N.在运动过程中，因为AP

＝2AQ，所以QN始终为AM的一半，即点Q到BC的距离是定值，故点Q的轨

迹是一条直线.

2.如图3，C为定点，P，Q为动点，CP＝CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线

AB上运动，点Q的运动轨迹是怎样的?

如图4，易知△CPP≌△CQQ(SAS)，则∠CPP＝∠CQQ，故可知点Q的轨迹

1111

是与AB夹角为(180°－2∠1)的一条直线.

模型总结:

条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定值.

主动点、从动点到定点的距离之比是定值.

结论:①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形.

②主动点路径所在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角.

③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的

动路径长.

【模型运用】

1.如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B是y轴正半轴上一点，以AB为

边在AB的右下方作等边三角形ABP.当点B在y轴上运动时，OP的最小值是

(C)

第1题图

36－32

A.3B.

2

332

C.D.

22

【解析】根据△ABP是等边三角形，点B沿直线运动可得，主动点B、从动点

P与定点A连线的夹角是定值(60°);主动点B、从动点P到定点A的距离之比是

定值(两者相等)，故点P的运动轨迹也是直线.

取两特殊时刻:如答图，当点B与点O重合时，作出对应的点P位置P;当点B

1

在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出点P位置P，则直线PP即为点P

212

的轨迹.

第1题答图

∵∠AOP＝60°，易知OP＝OA＝OP＝3，

112

∴∠APP＝30°.

21

13

过点O作OP⊥PP，则此时OP的值最小，OP＝OP＝.

122

22

2.如图，已知A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直

线y＝－x于点N.P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，若点P在