《数学（第8版 上册）》 课件 第4章 三角函数.pptx

三角函数;目录;学习目标

1.了解任意角的概念，会在直角坐标系中作任意角.

2.理解弧度制是用实数表示角的一种制度，会进行角度与弧度的换算.

3.会用三角比的定义和同角三角比的关系来求已知角的正弦、余弦和正切的值；会用计算器求任意角的三角比的值.

4.会利用诱导公式把任意角的三角比的值化为锐角的三角比的值.

5.会用五点法作正弦函数、余弦函数和正弦型函数的图像，并能根据图像得到它们的性质；会用描点法作正切函数的图像，并能根据图像得到它的性质.

6.能通过三角函数的学习，认识周期现象的变化规律，并能用其解释一些自然现象.;4.1角的概念的推广;实例考察

（1）如图a所示，公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？

（2）如图b所示，如果时钟快了2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了2h呢？;4.1.1角的概念的推广

我们规定：

按上述规定，我们就把角的概念推广到了任意角.;例如，摩天轮的机械臂转过一周半转了540°，转过两周转了720°；时针快2h，分针校准时旋转-720°，慢2h，分针校准时旋转720°.

为了能准确地表示一个角，我们在画角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来.例如，在下图中，正角α=600°，负角β=-60°.;4.1.2象限角与终边相同的角

为了方便，我们常把角放到平面直角坐标系中进行讨论.以平面直角坐标系xOy的原点O为角的顶点，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角.如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如，在下图中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角，90°角与-180°角不是象限角.;131;在0°~360°范围内，各象限角的范围如图所示.;在同一直角坐标系中，画出30°，390°，750°，-330°角，如图所示.;从上图可以看出，390°，750°，-330°角的终边都与30°角的终边相同.我们把它们称为与30°角终边相同的角，而且，

30°=30°+0×360°，

390°=30°+1×360°，

750°=30°+2×360°，

-330°=30°+（-1）×360°.;135;4.1.3弧度制

在初中，我们把圆周分成360等份，每一份称为1度的弧，1度的弧所对的圆心角称为1度（1°）的角.我们还知道1°=60，1=60″.这种度量角的单位制称为角度制.在数学和工程实际中还常用另一种度量角的单位制———弧度制.

我们规定：;如图所示，AB弧的长度等于圆O的半径r，则AB弧所对的圆心角为1rad的角.

根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角α的大小是rad，即

由于圆周的长度是2πr，在弧度制下它所对的圆心角的大小是

因为圆周角用角度表示为360°，所以可得出

360°=2πrad.;由此可得到度与弧度的换算公式：

角的弧度数用实数表示，而且，任何一个角的弧度数必定是唯一确定的实数；反过来，任何一个实数也都可以看作是一个弧度数，它对应唯一确定的一个角.因此，角（弧度制表示）的集合与实数集R之间建立了一一对应关系，如图所示.;4.2任意角的三角比;实例考察

在上一节的学习中，我们推广了角的概念，并介绍了在直角坐标系中研究角的方法，这种方法是否也能使锐角三角比的概念推广到任意角的三角比呢？下面我们来考察在直角坐标系中的锐角三角比.

在直角三角形中如图所示，在直角三角形OPM中，∠M是直角.锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有;在直角坐标系中如图所示，在锐角α的终边上任取一点P（原点除外)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，这样就得到了直角三角形OPM.设点P的坐标为(x，y)，则角α的对边MP的长是y，邻边OM的长是x，斜边OP的长是r.其中r=(r0).由此，得到;4.2.1任意角的三角比

在直角坐标系中，锐角三角比可以用其终边上点的坐标来定义.这种方法同样适用于定义任意角的三角比.

如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设点P的坐标为（x，y），OP=r，则;我们这样定义三角比：

如图所示，由相似三角形的性质，可知比值（x≠0）只依赖于角α的大小，与点P在角α的终边上的位置无关.

必须指出，当α=+kπ（k∈Z）时，点P的横坐标x=0，此时tanα没有意义.除此以外，对于每一个确定的角α，三个三角比都有意义.;下