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4中等数学

斯坦纳定理的证明及应用

金磊

(西安交通大学附属中学，710043)

中图分类号：0123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2018)08—00o4—05

(本讲适合高中)四边形PHHF为等腰梯形．

西姆松定理三角形外接圆上的点在三故PFH：PHH=PBC=P肋

边上的垂足共线，反之亦然．FD∥FH，FD为△P胛的中位线

斯坦纳定理…有多种等价的表达形式，jFD平分PH．

最简单的叙述为：证法2设点P关于BC的对称点为

斯坦纳定理若日为△ABC的垂心，PD，为PD与外接圆的另一个交点．同上有

为△ABC外接圆厂上的任意一点，加上BC四边形PHHD为等腰梯形．

于点D，PF上AB于点F，则直线FD平分线故PDH=DPH=PAA

段PH．=PBA=PDE．

另一种常见叙述：△ABC外接圆，上的以下同证法1．

任意点关于三边对称点及垂心H四点共线．(2)利用对称性及同一法证明．

由西姆松定理及中位线定理，知上述两证法3如图1，设D关于边BC、AC的

种叙述等价．对称点分别为D、D”．

本文先展示斯坦纳定理的几种经典证明

思想，从不同角度观察和研究此定理，并应用

此定理解决一些问题．

1定理证明F

(1)利用垂心关于各边对称点在外接圆

上及等腰梯形性质中位线定理证明．

证法1易证明点关于AB的对称点＼／‘

H在圆，上，设P关于AB的对称点为F，则

图1

收稿日期：2017—11—06修回时间：2018—04—22

DA，点X在四边形ABCD内部，且满足

++…++

n2a3anaIXAB=XCD，XBC=XDA．

均为整数．证明：存在正整数，使得对所有证明：BXA+DC=180。．

整数m≥，均有口=a(蒙古供题)(波兰供题)

6．在凸四边形ABCD中，AB·CD=BC·(瞿振华提供)

2018年第8期5

同上，知点日、E关于BC对称，则直线知点P关于三边的对称点共线．

HD、肋关于BC对称．下面证明点日在此直线上．

类似地，直线HD”与DF关于AC对称．