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数学建模试题

一、传染病模型

医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。

一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。

要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？

二、线性规划模型—销售计划问题

某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。

月

7

8

9

10

11

12

买进（元/件）

28

26

25

27

24

23.5

售出（元/件）

29

27

26

28

25

25

要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。

【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。

语法为：x=linprog(f,A,b)

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(...)

例如：线性规划目标函数的系数：f=[-5;-4;-6]

约束方程的系数及右端项：

A=[1-11

324

320];

b=[20;42;30];lb=zeros(3,1);

调用线性规划程序linprog求解，得：

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb);

x=0.0000

15.0000

3.0000

三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测

下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（），万人，万人。

年

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

人口

（万）

101654

103008

104357

105851

107507

109300

111026

112704

114333

年

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

人口

（万）

115823

117171

118517

119850

121121

122389

123626

124810

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。

语法为：[t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0)

四、高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题

现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？

（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？

【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。

语法为：[t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0)

例如函数：functiondy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);%acolumnvector

dy(1)=y(2)*y(3);

dy(2)=-y(1)*y(3);

dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);

设置选项：

options=odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,[1e-41e-41e-5]);

求解得：

[t,Y]=ode45(@rigid,[012],[011],