2025年数学高考二轮重点专题复习专题8利用二阶导函数解决导数问题(典型题型归类训练)含详解.docx

专题08利用二阶导函数解决导数问题

(典型题型归类训练)

目录

TOC\o1-1\h\u一,必备秘籍 1

二,典型题型 1

三,专项训练 3

一,必备秘籍

1,函数极值的第二判定定理：

若在附近有连续的导函数,且,

（1）若则在点处取极大值.

（2）若则在点处取极小值

2,二次求导使用背景

（1）求函数的导数,无法判断导函数正负.

（2）对函数一次求导得到之后,解不等式难度较大甚至根本解不出.

（3）一阶导函数中往往含有或

3,解题步骤：

设,再求,求出的解,即得到函数的单调性,得到函数的最值,即可得到的正负情况,即可得到函数的单调性.

二,典型题型

1．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数.

(1)求在的单调区间：

(2)若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围.

2．（2024·广东深圳·二模）已知函数,是的导函数,且．

(1)若曲线在处的切线为,求k,b的值.

(2)在（1）的条件下,证明：．

3．（2024·北京石景山·一模）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程.

(2)求在区间上的最大值与最小值.

(3)当时,求证：．

4．（2024·浙江丽水·二模）设函数.

(1)当时,求函数的单调区间.

(2)若对定义域内任意的实数,恒有,求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）

5．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数,,其中.

(1)求证：对任意的,总有恒成立.

(2)求函数在区间上的最小值.

(3)当时,求证：函数在区间上存在极值.

三,专项训练

1．（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数.

(1)当时,求曲线在处的切线方程.

(2)讨论函数零点的个数.

2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数

(1)求函数的单调区间.

(2)令,求在处的切线的方程,并证明的图象在直线的上方．

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的单调性.

(2)若函数的最小值为,不等式在上恒成立,求实数的取值范围．

4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数,当时,,求的取值范围.

5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)当时,求曲线在点处的切线方程.

(2)当时,证明：在定义域内恒成立．

6．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在上的函数．

(1)若为单调递增函数,求实数的取值范围.

(2)当时,证明：．

7．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数．

(1)求函数的极值.

(2)若恒成立,求实数的取值范围．

8．（2024·陕西西安·二模）已知函数．

(1)当时,,,求的取值范围.

(2)证明：当时,在上单调递增．

专题08利用二阶导函数解决导数问题

(典型题型归类训练)

目录

TOC\o1-1\h\u一,必备秘籍 1

二,典型题型 1

三,专项训练 8

一,必备秘籍

1,函数极值的第二判定定理：

若在附近有连续的导函数,且,

（1）若则在点处取极大值.

（2）若则在点处取极小值

2,二次求导使用背景

（1）求函数的导数,无法判断导函数正负.

（2）对函数一次求导得到之后,解不等式难度较大甚至根本解不出.

（3）一阶导函数中往往含有或

3,解题步骤：

设,再求,求出的解,即得到函数的单调性,得到函数的最值,即可得到的正负情况,即可得到函数的单调性.

二,典型题型

1．（23-24高二下·福建厦门·阶段练习）已知函数.

(1)求在的单调区间：

(2)若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见详解

(2)

【分析】（1）求导得,结合余弦函数性质求函数的单调区间.

（2）由题知对于任意的恒成立,进而分和两种情况讨论即可得解.

【详解】（1）因为,则.

且,则.

当,即,.

当,即,.

所以的递增区间为,递减区间为.

（2）因为对于任意的恒成立.

所以对于任意的恒成立.

当时,则,可知.

当时,.

构建,则.

构建.

则在上恒成立.

可知在上单调递减,则.

即在上恒成立

可知在上单调递减,则.

可得.

综上所述：实数的取值范围为.

2．（2024·广东深圳·二模）已知函数,是的导函数,且．

(1)若曲线在处的切线为,求k,b的值.

(2)在（1）的条件下,证明：．

【答案】(1),.

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意,求导可得的值,再由导数意义可求切线,得到答案.

（2）设函数,利用导数研究函数的单调性从而求出最小值大于0,可得证.

【详解】（1）因为,所以.

因为,所以．

则曲线在点处的切线斜率为．

又因为.

所以曲线在点处的切线方程为.

即得,．

（2）设函数,.

则.

设,则.

所以,当时,,单调递增．

又因为.

所以,时,,单调递增.

时,,单调递减．

又