2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程21圆锥曲线学案选修1-1.docVIP

2.1圆锥曲线

学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面感受、了解双曲线、抛物线的定义．(难点)

[自主预习·探新知]

1．用平面截圆锥面得到的图形

用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．

2．圆锥曲线定义

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．

3．三种圆锥曲线

设P为相应曲线上任意一点，常数为2a

定义(自然语言)

数学语言

椭圆

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离

PF1＋PF2＝2a＞F1

双曲线

平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点

|PF1－PF2|＝2a＜F1

抛物线

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线

PF＝d，其中d为点P到l的距离

[基础自测]

1．判断正误：

(1)到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．()

(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()

(3)椭圆上的一点与椭圆的两焦点，一定构成一个三角形．()

(4)平面内到一定点与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()

【解析】(1)×.当常数大于两定点间的距离时，动点的轨迹才是椭圆．

(2)×.应该是差的绝对值，否则轨迹是双曲线的一支．

(3)×.当椭圆上的点在F1F2

(4)×.定点不能在定直线上才是抛物线．

【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×

2．动点P(x，y)，到定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为6，则点P的轨迹为________.

【导学号

【解析】∵AB＝4，PA＋PB＝6＞4，∴点P的轨迹为椭圆．

【答案】椭圆

[合作探究·攻重难]

椭圆的定义及应用

(1)在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝eq\f(5,4)，则△ABC的顶点C的轨迹为________．

(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹．

[思路探究]根据椭圆的定义判断．

【自主解答】(1)由正弦定理，得eq\f(BC＋AC,AB)＝eq\f(5,4)，又AB＝8，∴BC＋AC＝10＞AB，

由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．

【答案】(1)以点A、B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个定点)．

(2)如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，

∴MC1＝13－r.圆M外切于圆C2，

∴MC2＝3＋r.∴MC1＋MC2＝16C1C2

∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．

[规律方法]已知平面内动点P及两个定点F1，F2：

(1)当PF1＋PF2F1F2时，点P的轨迹是以F1，F2

(2)当PF1＋PF2＝F1F2时，点P的轨迹是线段F1F

(3)当PF1＋PF2F1F2时，点P的轨迹不存在

[跟踪训练]

1．已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周长为16，试确定顶点C的轨迹.

【导学号

【解】由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，

又△ABC的周长为16，

所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，

由椭圆的定义可知点C在以A，B为焦点的椭圆上，

又因为A、B、C为三角形的顶点，

所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线上的两个点).

抛物线的定义及应用

(1)已知点M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq\f(1,2)，则点M的轨迹为________．

(2)若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是________．

[思路探究](1)把条件转化为M到定点与定直线的距离相等；(2)利用圆心到A的距离与到切线的距离相等．

【自主解答】(1)由于动点M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离比它到y轴的距离大eq\f(1,2)，所以动点M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离与它到直线l：x＝－eq