广东省东莞市粤华学校20242024学年高一数学下学期期中试题.doc

粤华学年第二学期期中考试

高一年级数学学科试卷

（满分150分，答题时间120分钟）

一填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1下列命题中正确的是 （）

A第一象限角必是锐角 B终边相同的角相等

C相等的角终边必相同 D不相等的角其终边必不相同

2已知角的终边过点，，则的值是 （）

A1或1 B或 C1或 D1或

3下列命题正确的是 （）

A若·=·，则= B若，则·=0

C若//，//，则// D若与是单位向量，则·=1

4计算下列几个式子，①,

②2(sin35?cos25?+sin55?cos65?),③,④，结果为的是（）

A①② B③ C①②③ D②③④

5函数y＝cos(2x)的单调递增区间是 （）

A B

C D（以上k∈Z）

6△ABC中三个内角为ABC，若关于x的方程有一根为1，则△ABC一定是 （）

A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形

7将函数的图像左移，再将图像上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为 （）

A B

C D

8化简+，得到 （）

A2sin5 B2cos5 C2sin5 D

9函数f(x)=sin2x·cos2x是 （）

A周期为π的偶函数 B周期为π的奇函数

C周期为的偶函数 D周期为的奇函数

10若|，且⊥，则与的夹角是 （）

A B C D

正方形ABCD的边长为1，记＝，＝，＝，则下列结论错误的是（）

A()·＝0 B(＋)·＝0

C(||||)＝ D|＋＋|＝

122024年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，

它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正

方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，

小正方形的面积是的值等于（）

A1 B C D

二填空题(本大题共4小题，每小题5分,合计20分)

13已知曲线y=Asin(?x＋?)＋k（A0,?0,|?|π）在同一周期内的最高点的坐标为(,4)，最低点的坐标为(,2)，此曲线的函数表达式是

14设sin?sin?=，cos?+cos?=,则cos(?+?)=

15已知向量上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________

16关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数;写出所有正确的命题的题号：。

三解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17（本小题12分）已知，，，，求的值

18（本小题12分）已知函数。（I）求的周期和振幅；（II）用五点作图法作出在一个周期内的图象;（III）写出函数的递减区间

19（本小题12分）已知关于x的方程的两根为和，∈（0，π）求：

（I）m的值；（II）的值；（III）方程的两根及此时的值

20（本小题12分）已知点ABC的坐标分别为A(3,0)B(0,3)C(cosα,sinα),α∈(,)

（I）若||=||，求角α的值；（II）若·=1，求的值

21（本小题12分）某港口海水的深度（米）是时间（时）的函数，记为：

已知某日海水深度的数据如下：

（时）

0

3

6

9

12

15

18

21

24

（米）

100

130

99

70

100

130

101

70

100

经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象

（I）试根据以上数据，求出函数的振幅最小正周期和表达式；

（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

22（本小题10分）已知向量

（I）求证：；

（II）若存在不等于的实数和，使满足。试求此时的最小值。