第二十一章 一元二次方程综合题拓展训练（6考点）（原卷版）.docx

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第二十一章一元二次方程综合题拓展训练

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考点一一元二次方程的解法拓展

考点二解一元二次方程的综合应用

考点三一元二次方程的根的判别式的应用

考点四与图形有关的一元二次方程应用

考点五营销背景下的一元二次方程应用

考点六动态几何背景下的一元二次方程应用

考点一一元二次方程的解法拓展

1．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（）

A．

B．

C．，

D．，，

2．已知，则的值是（????）

A．或1 B．或 C．或 D．或2

3．定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则．

4．阅读理解

【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．

①因式分解法求解特殊的三次方程：

将变形为，

．

．

．

．

或．

原方程有三个根：，，．

②换元法求解特殊的四次方程：

设，那么，于是原方程可变为，解得，，

当，时，；

当，时，；

原方程有四个根：，，，．

【应用新知】

（1）仿照以上方法，按照要求解方程：

①（因式分解法）；

②（换元法）；

【拓展延伸】

（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．

5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．

(1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；

(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．

考点二解一元二次方程的综合应用

6．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是；当C、F、G三点共线时，的长是．

7．如图，已知，C为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点C，E，F在一条直线上，．P、Q分别是对角线，的中点，当点C在线段上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．

??

??

8．（1）当__________时，多项式的最小值为__________．

（2）当__________时，多项式的最大值为__________．

（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．

9．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．

例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．

请根据上述材料解决下列问题：

(1)若代数式，求M的最小值；

(2)已知正数x，y满足，求的最小值．

10．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点两点，直线与轴交于点，与直线交于点，且．

(1)如图1，求点的坐标及的值；

(2)如图2，点是直线上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标；

(3)如图3，过点作轴的垂线，点是垂线上的一点，当以点为顶点的三角形是等腰三角形时直接写出点的坐标．

11．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．

阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．

阅读上述内容，解答下列问题：

(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；

(2)已知，，求的最小值．

(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）

12．综合与实践

【项目学习】

配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．

例1：把代数式进行配方．

解：原式．

例2：求代数式的最大值．

解：原式．

，，

，的最大值为．

【问题解决】

(1)若满足，求的值．

(2)若等腰的三边长均为整数，且满足，求的周长．

(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中是和的三边长