第二十一章 一元二次方程综合题拓展训练（6考点）（解析版）.docx

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第二十一章一元二次方程综合题拓展训练

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考点一一元二次方程的解法拓展

考点二解一元二次方程的综合应用

考点三一元二次方程的根的判别式的应用

考点四与图形有关的一元二次方程应用

考点五营销背景下的一元二次方程应用

考点六动态几何背景下的一元二次方程应用

考点一一元二次方程的解法拓展

1．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（）

A．

B．

C．，

D．，，

【答案】B

【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键．

根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可．

【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意；

当时，，解得或（舍去）；

当时，，方程没有实数解；

当时，，方程没有实数解；

∴方程的解为0，

故选：B．

2．已知，则的值是（????）

A．或1 B．或 C．或 D．或2

【答案】C

【分析】设，则，根据题意得出关于m的分式方程，解方程求出m，然后用含x的式子表示出y，进而计算的值即可．

【详解】解：设，则，

∵，

∴，

整理得：，

解得：，，

经检验，，是分式方程的解，

当时，，

∴；

当时，，

∴；

综上，的值是或，

故选：C．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，解一元二次方程，分母有理化，设出未知数，用含x的式子表示出y是解答本题的关键．

3．定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则．

【答案】或

【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可．

本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键．

【详解】根据题意，得，

整理得，

解得．

经检验，是原方程的根，

故答案为：或．

4．阅读理解

【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．

①因式分解法求解特殊的三次方程：

将变形为，

．

．

．

．

或．

原方程有三个根：，，．

②换元法求解特殊的四次方程：

设，那么，于是原方程可变为，解得，，

当，时，；

当，时，；

原方程有四个根：，，，．

【应用新知】

（1）仿照以上方法，按照要求解方程：

①（因式分解法）；

②（换元法）；

【拓展延伸】

（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．

【答案】（1）①，，；②，；（2）

【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．

（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；

（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．

【详解】（1）①将变形为，

∴，

∴，

∴，

.

或.

解方程得.

解方程得，，

∴原方程的根为：，，；

②，

设，则，方程变形为，

∴，

解得：，

当，时，无实根，舍去，

当，时，解得或；

∴原方程有两个根：，；

（2）解：方程的解为：，

由于，

∴，

，

，，

，

当时，

原式

．

5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．

(1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；

(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．

【答案】(1)该方程不是“邻2根方程”

(2)或

【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解．

（1）求解方程，即可进行判断．

（2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻2根方程”即可求解．

【详解】（1）解：∵

∴

∴

∵，

故该方程不是“邻2根方程”．

（2）解：∵

∴．

∴．

由题意得：或，

解得：或．

考点二解一元二次方程的综合应用

6．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是；当C、F、G三点共线时，的长是．

【答案】或

【分析】如图1中，在的上方作正方形，连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可；的长分两种情形，分别画出图形求解即可．

【详解】解：如图1中，在的上方作正方形，

四边形和四边形是正方形，

，，

H为的中点，

，

，

，，

，

，

，

；

如图2中，当C，F，G三点共线时，连