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第二十一章一元二次方程综合题拓展训练
目录链接
考点一一元二次方程的解法拓展
考点二解一元二次方程的综合应用
考点三一元二次方程的根的判别式的应用
考点四与图形有关的一元二次方程应用
考点五营销背景下的一元二次方程应用
考点六动态几何背景下的一元二次方程应用
考点一一元二次方程的解法拓展
1.定义[x]为不大于实数x的最大整数,如.函数的图象如图所示,则方程的根为()
A.
B.
C.,
D.,,
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象,解一元二次方程.根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键.
根据新定义和函数图象分情况讨论:当时,;当时,;当时,;当时,;然后分别求关于x的一元二次方程即可.
【详解】解:由题意知,当时,,解得或,均不合题意;
当时,,解得或(舍去);
当时,,方程没有实数解;
当时,,方程没有实数解;
∴方程的解为0,
故选:B.
2.已知,则的值是(????)
A.或1 B.或 C.或 D.或2
【答案】C
【分析】设,则,根据题意得出关于m的分式方程,解方程求出m,然后用含x的式子表示出y,进而计算的值即可.
【详解】解:设,则,
∵,
∴,
整理得:,
解得:,,
经检验,,是分式方程的解,
当时,,
∴;
当时,,
∴;
综上,的值是或,
故选:C.
【点睛】本题考查了分式的混合运算,解分式方程,解一元二次方程,分母有理化,设出未知数,用含x的式子表示出y是解答本题的关键.
3.定义:我们把形如的数成为“无限连分数”.如果a是一个无理数,那么a就可以展成无限连分数,例如:,如果,则.
【答案】或
【分析】根据题意,得,整理得,解方程即可.
本题考查了新定义问题,正确转化成分式方程,一元二次方程是是解题的关键.
【详解】根据题意,得,
整理得,
解得.
经检验,是原方程的根,
故答案为:或.
4.阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法,其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样的思路,我们可以将更高次的方程“降次”,转化为二次方程或一次方程进行求解.
①因式分解法求解特殊的三次方程:
将变形为,
.
.
.
.
或.
原方程有三个根:,,.
②换元法求解特殊的四次方程:
设,那么,于是原方程可变为,解得,,
当,时,;
当,时,;
原方程有四个根:,,,.
【应用新知】
(1)仿照以上方法,按照要求解方程:
①(因式分解法);
②(换元法);
【拓展延伸】
(2)已知:,且,请综合运用以上方法,通过“降次”求的值.
【答案】(1)①,,;②,;(2)
【分析】本题考查了解高次方程,理解题意,正确进行计算是解此题的关键.
(1)①仿照题中所给方法,利用因式分解法解方程即可;②仿照题中所给方法,利用换元法解方程即可;
(2)根据题意对所给代数式进行“降次”,再用整体思想即可解决问题.
【详解】(1)①将变形为,
∴,
∴,
∴,
.
或.
解方程得.
解方程得,,
∴原方程的根为:,,;
②,
设,则,方程变形为,
∴,
解得:,
当,时,无实根,舍去,
当,时,解得或;
∴原方程有两个根:,;
(2)解:方程的解为:,
由于,
∴,
,
,,
,
当时,
原式
.
5.如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“邻2根方程”.例如,一元二次方程的两个根是,,则方程是“邻2根方程”.
(1)通过计算,判断方程是否是“邻2根方程”;
(2)已知关于x的一元二次方程(m是常数)是“邻2根方程”,求m的值.
【答案】(1)该方程不是“邻2根方程”
(2)或
【分析】本题以新定义题型为背景,考查了一元二次方程的求解.
(1)求解方程,即可进行判断.
(2)利用因式分解求解方程,根据该方程是“邻2根方程”即可求解.
【详解】(1)解:∵
∴
∴
∵,
故该方程不是“邻2根方程”.
(2)解:∵
∴.
∴.
由题意得:或,
解得:或.
考点二解一元二次方程的综合应用
6.如图,正方形和正方形的边长分别为6和4,连接,H为的中点,连接.将正方形绕点A旋转一周,则的取值范围是;当C、F、G三点共线时,的长是.
【答案】或
【分析】如图1中,在的上方作正方形,连接,求出的取值范围,再利用三角形中位线定理求解即可;的长分两种情形,分别画出图形求解即可.
【详解】解:如图1中,在的上方作正方形,
四边形和四边形是正方形,
,,
H为的中点,
,
,
,,
,
,
,
;
如图2中,当C,F,G三点共线时,连
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