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“1＋1”的证明

哥德巴赫猜想中的“1+1”，虽然猜了二百六十多个年头，但还是可以用下面

两种方法证明。

1.对应法

1.1为应用对应法证明“1+1”，我们先来证明一个相关的引理：最简同分母

真分数之和一定是整数。

如：19+29+49+59+79+89=3

160+760+1160+1360+

1760+1960+2360+2960+

3160+3760+4160+4360+

4760+4960+5360+5960=8

同以上两例一样,其他的最简同分母真分数之和必为整数,这到底是为什么呢?

我们说,其原因有二:

1.同分母真分数之和，奇性为一个整数，偶性为一个整数加上12。

（1）若分母为奇数，同分母真分数之和可写成：

12n-1+22n-1+32n-1+…2n-32n-1+2n-22n-1(2n-1≠0）(a)

仔细观察上(a)式可发现：上（a)式总项数为2n－2,必为偶数,且首尾对应为“和

1数”（即首尾对应项之和为1的一对数我自称为“和1数”，下同）。

如：12n-1+2n-22n-1=1;22n-1+2n-32n-1=1;……

所以上(a)式同分母真分数之和一定为整数，我们可设其为N1，则：

12n-1+22n-1+32n-1+……+2n-32n-1+2n-22n-1=N1，如：

113+213+313+413+

513+613+713+813+

913+1013+1113+1213

=113+1213+

213+1113+

313+1013+

413+913+

513+813+

613+713=6

（2）若分母为偶数，同分母真分数之和可写成：

12n+22n+32n+…n2n+…2n-22n+2n-1n(2n≠0）(b)

显然,上(b)式总项数为2n-1，必为奇数，且和1数同样存在，中间一项一定

为12。

即：12n+2n-12n=1;22n+2n-22n=1;……n2n=12

所以上(b)式同分母真分数之和一定为一个整数加上12，我们可设其为

N2+12,则：12n+22n+32n+……n2n……+2n-22n+2n-12n=N2+12。

如：110+210+310+410+510+610+710+810+910=

110+910+

210+810+

310+710+

410+610+

510=4+12(c)

综上（1）、（2）两点可得：同分母真分数之和，奇性为一个整数，偶性为一

个整数加上12。

1.2最简同分母真分数之和一定为整数。

（1）当分母为偶数时，我们可设2n=2P1P2……上（b)式可写成

12P1P2……+22P1P2+……

P12P1P2+……+

P22P1P2……+P1P2……2P1P2……+

2P1P2……-P12P1P2……+……+

2P1P2……-P22P1P2……+2P1P2……-22P1P2+

2P1P2……-12P1P2……(d）

以上P1P2……均为质数。

从以上（d）式可以看到：当P12P1P2……为非最简分数时，其和1数

2P1P2……-P12P1P2……也必为非最简分数。因为

1-P12P1P2=2P1P2……-P12P1P2……=P1（2P2……-1）2P1P2……，其中分子分

母同含有公约数p1。所以非最简分数也一定成和１数出现，且中间一项

P1P2……2P1P2=12也一定为非最简分数。

如上（c）式中，410为非最简分数，其和１数1-410=610也一定为非最简分

数，且中间一项510也一定为非最简分数。

所以，当我们删去非最简分数时，一定删去若干个和１数加上12；而若干

个和１数之和一定为整数。我们可设其为N3，则：

22P1P2……+2P1P2……-22P1P2……+……+

P12P1P2+2P1P2……-