第二十四章 圆知识归纳与题型突破（21题型清单）（原卷版）.docxVIP

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第二十四章圆知识归纳与题型突破（21题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

一、圆的基本性质

1.圆

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

2.圆的有关概念

（1）弦：

连结圆上任意两点的线段叫做弦.

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径.

（3）弧的有关概念：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

（4）同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

（5）等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

3.垂直于弦的直径

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

4.弧、弦、圆心角的关系

（1）圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

（2）圆心角定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（3）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等．

5.圆周角

圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

6.圆内接多边形

一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

1.圆内接四边形的对角互补．

2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）

二、点与圆、直线与圆的位置关系

1.点和圆的位置关系（重点）

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

①点P在圆外?d＞r

②点P在圆上?d＝r

①点P在圆内?d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

（3）符号“?”读作“等价于”，它表示从符号“?”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

2.圆的确定条件

不在同一直线上的三点确定一个圆．

3.三角形的外接圆

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

4.反证法

（1）反证法

假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法.反证法是一种间接证明命题的方法.

（2）用反证法证明命题的一般步骤

①假设命题的结论不成立;

②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾

③由矛盾判定假设不正确,从而肯定原命题的结论正确

5.直线和圆的位置关系

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

直线l和⊙O相交?dr；

直线l和⊙O相切?d=r；

直线l和⊙O相离?dr.

6.切线的判定定理和性质定理

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理