定理在数学中的简写形式_「高中数学」柯西不等式，最全解析，高考必备，搞定最后十分....pdfVIP

定理在数学中的简写形式_「⾼中数学」柯西不等式，最全解

析，⾼考必备，搞定最后⼗...

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柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法国数学家、⼒学家。27岁成为巴黎综合⼯科学校教授，并当选为法国科学院院⼠.他的

⼀⽣获得了多项重要的成果。柯西不等式便是他的⼀个⾮常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进⾏了深刻的研究，其中包括数

论、代数、数学分析和微分⽅程等，为数学的发展做出的突出的贡献。柯西对⾼等数学的贡献包括：⽆穷级数的敛散性，实变和复变函数论,

微分⽅程，⾏列式，概率和数理⽅程等⽅⾯的研究．⽬前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义，以及微分、定积分⽤⽆穷多个⽆穷

⼩的和的极限定义，实质上都是柯西给出的。数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西

判别法、柯西⽅程等等。

柯西

柯西不等式是由⼤数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的⾓度讲，该不等式应当称为Cauchy-

Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家(布涅柯夫斯基和施⽡茨)彼此独⽴地在积分学中推⽽⼴之，才将这⼀不等式应⽤

到近乎完善的地步。柯西不等式⾮常重要，⽽且形式优美，结构巧妙，他也是⾼中四⼤经典不等式(均值不等式、柯西不等式、排序不等

式、切⽐雪夫不等式)之⼀，做为⾼中数学选修4－5的重要内容，灵活巧妙地应⽤它，可以使⼀些较为困难的问题迎刃⽽解在⾼考中拿分迅

速准确。柯西不等式在证明不等式、解三⾓形、求函数最值、解⽅程等问题的⽅⾯有很强⼤的应⽤。柯西不等式不仅在⾼等数学中是⼀个

⼗分重要的不等式，⽽且它对初等数学也有很可的指导作⽤，利⽤它能⾼远瞩、居⾼临下，从⽽⽅便地解决⼀些中学数学中的有关问题。

⼀、柯西不等式的各种形式及其证明

⼀般形式及推论

三个变形

柯西不等式的证明有很多，利⽤均值不等式、构造函数、数学归纳法等，⽽⼆维形式、三⾓形式、向量形式的证明过程也很简单，在这⾥笔

者就不进⾏证明，欢迎⼤家评论区讨论，这⾥只给出积分形式(施⽡茨不等式)、推⼴形式(卡尔松不等式)证明的⼏种形式，以供参考。

⼆维形式

三⾓及向量形式

积分形式

推⼴形式

⼆、柯西不等式在⾼考中的⼏种应⽤

先在柯西不等式的基础上把不等式构造出来，然后在进⾏求解。

由于许多式⼦的结构满⾜柯西不等式取等号的条件，因此可以利⽤不等式来解决等式的⼀些问题。例如下⾯的例题是⼀个三元⼆次⽅程组，

依常规看，好像少了⼀个⽅程，但运⽤柯西不等式却可化腐朽为神奇，柳暗花明，让我们领悟到数学的奇异美。

柯西不等式结构对称和谐，具有较强的应⽤性，深受⼈们的喜爱。它作为⼀个基本⽽⼜重要的不等式，在数学领域中具有⼀定的地位。它不

仅在⾼等数学中是⼀个重要的不等式，⽽且它对于初等数学的学习也有很⼤的指导意义。灵活巧妙地运⽤柯西不等式能⾼瞻远瞩，⽅便地解

决初等和⾼等数学的有关问题，从⽽加深知识的理解与巩固。

能否熟练地应⽤就要看我们是否有去⽤它的意识，⽽且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加⽅便，快捷，

收到事半功倍的效果。如何应⽤柯西不等式，难点在于构造，既要针对柯西不等式两端的形式，⼜要考虑问题所给条件和结论的内在联系，

探索构造信息，有助于开阔眼界，培养思维的深刻性与发散性。其实对于数学上其它的公式、定理使⽤时也是如此，那就是：变形改造已知

式，使定理公式的使⽤更便于结论的导出；创设、构造条件使看似不能利⽤相关定理、公式成为可能。