天津市高中数学 第2讲 函数的解析式定义域和值域寒假课程学案 新人教版.doc

第二讲函数的解析式定义域和值域

一知识梳理

1函数的概念

设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数记作，

函数的本质含义是定义域内任一值，必须有且仅有惟一的值与之对应

函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域

确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则

函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，是加工手段

2函数的表示法：列表法，图象法，解析法

图象法和解析法是考查的重点

3映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则，对A中的任意一个元素，在B中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合A到集合B的映射

这时，称是在映射作用下的象，记作，于是＝，称作的原象

映射也可记为

其中A叫做映射的定义域，由所有象构成的集合叫做映射的值域

二方法归纳

求函数的解析式的一般方法：配凑法换元法待定系数法特殊值法等等

求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次幂没意义，零和负数无对数，等等

求函数的值域的常见方法：直接法配方法换元法判别式法数形结合法反函数法单调性法等等

判断某“对应法则”是否为A→B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A中任一元素在B中应有象，且象唯一；②B中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象

三典型例题精讲

【例1】如果，那么＝

解析：方法一（配凑法）∵＝，

∴＝＝

方法二（换元法）设，则，于是＝，

即＝

技巧提示：（1）凑配法：若已知的表达式，需求的表达式，可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再将统一换为，求出的表达式

（2）换元法：已知的表达式，需求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式

用凑配法和换元法求的解析式时，不单是关注对应法则的变化，还需要考虑定义域的变化

又例:已知，，求函数

错解分析：∵＝，∴＝，

定义域是函数的一个要素，没有考虑定义域的变化，所求函数出错

解析：∵＝，

又∵，有，∴＝，

再例:已知函数满足＝（＞0，≠1，＞0)，求的表达式

错解分析：令，于是＞1，＞0；，＜0

将代入，得＝，

∴＝（＞1，＞0；，＜0）

在＞0，≠1，＞0的条件下，

解析：令，，将代入，得＝

∴＝（＞0，，）

【例2】已知二次函数＝满足，求的表达式

解析：由，，

得并且，，不能同时等于1或1，

所以所求函数为：＝或＝或＝

或＝或＝或＝

技巧提示：待定系数法：若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式

又例:已知一次函数满足＝，求的表达式

解析：设＝，则＝，＝，

由＝，得

比较系数及常数项，得，∴，∴＝

再例:如果函数N+）满足＝0，＝2，且＜求函数的解析式

解析：依题意，得，即∴

又由，得

∵∈N+，∴，∴＝1或＝2

又＝2，故当＝1时，＝0，不符合题意；

当＝2时，＝2∴

【例3】已知满足对任意，，有求

解析：∵……①

将用代之，得……②

由①，②得

技巧提示：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法

又例：设满足＝1，并且对任意实数都成立，求的解析式

解析：方法一：由＝1，

令＝，得，

∴＝

方法二：令＝0，得，

∴＝

技巧提示：赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式

【例4】求函数的定义域

解析：这个函数是两项之和，由第一项有：，

由第二项有：，，

取两者之交集，得所求函数的定义域为

技巧提示：求函数的定义域就是要使函数有意义，目前我们知道：分母为零无意义，负数开偶次方无意义，零的零次幂没意义，零和负数的对数无意义等等求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组；使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义，所以通常需要求数集的交集

又例:（1）函数的定义域是

（2）函数的定义域是

解析：（1）要使函数有意义，必须有，即

应填：

（2）要使函数有意义，必须有≥0，

∴，即应填：

再例：函数的定义域是

解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填：

【例5】若的定义域为，则的定义域是

解析：由，有

得的定义域为应填：

技巧提示：函数的定义域为，意思是