山东省高密市第三中学高中数学 242抛物线的几何性质导学案（创新班，无答案）新人教B版选修21.doc

242抛物线的几何性质

一【教材基础梳理】

图形

标准方程

焦点坐标

顶点

准线方程

对称轴

开口方向

二【课前检测】

1抛物线的焦点坐标为（）

A（0，）BCD

2抛物线上一点P到焦点的距离是2，则点P的坐标为（）

ABCD

3设抛物线的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线的方程为

三【典例解析】

类型一求抛物线的标准方程

例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程

变式训练1已知双曲线方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程

2边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过AB的抛

物线方程是（）

ABCD

类型二抛物线几何性质的简单应用

例2：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长

变式训练3直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，且一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程

类型三与抛物线有关的最值问题

例3抛物线上的点到直线的距离最短，则该点坐标是什么？

变式训练4求抛物线上一点到直线的最短距离

四【课堂达标练习】

1过抛物线的焦点的直线交抛物线于AB两点，O为坐标原点，则·的值是

（）

A12B—12C3D—3

2设抛物线上一点到轴的距离为12，则点与焦点的距离｜PF｜=________

3根据下列条件，求抛物线的方程：

（1）顶点在原点，对称轴为轴，且过点，抛物线的方程为________________；

（2）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点抛物线的方程为________________

4一个动点到点的距离比到直线的距离多于1，这个动点的轨迹方程为______。

5求下列方程表示的抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）。

6抛物线上的一点和焦点的距离等于9，点的坐标为________

7抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是此双曲线的左顶点，抛物线的方程为_______

8设O为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若·=，求点的坐标

五【课后强化训练】

一选择题

1（2024年高考福建卷）以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）

AB

CD

2抛物线的准线方程是，则的值为（）

ABCD

3抛物线的顶点在坐标原点，轴为对称轴，其焦点与双曲线的左焦点重合，则这条抛物线的方程是（）

ABCD

4已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

ABCD

二填空题

5动点到点的距离和到直线的距离相等，动点的轨迹方程______________

6垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，且。直线的方程为______

7如图所示，斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则该线段的长为_____________

8抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，其上有一点（4，），其到准线的距离为6，则=_________

9顶点为原点，焦点在轴正半轴上且通径长为6的抛物线方程是____________

10已知抛物线的对称轴是轴，且它经过直线与圆的交点，此抛物线的标准方程为_________

三解答题

已知抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线上，求抛物线的方程

12已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且·=16求此抛物线的方程

13已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，其上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程及的值

14过抛物线的焦点的一条直线与它交于,两点，过点和此抛物线顶点的直线与准线交于点求证直线平行于此抛物线的对称轴

15如图是一座抛物线型拱桥示意图，桥拱是抛物线部分且以抛物线的轴为对称轴。已知顶点距水面4m时，量得水面宽12m，那么当水位升高1m时水面的宽多少（精确到01m）？

16已知抛物线，是抛物线上一点：设为焦点，一个定点为，求的最小值，并指出此时点的坐标；