山东省乐陵中学2024届高三数学 第13周 曲线与方程学案.docVIP

山东省乐陵**中学2024届高三数学第13周曲线与方程学案

【学习目标】1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程

【重点难点】能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程

【知识梳理】

1曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：

(1)曲线C上点的坐标都是____________________________

(2)以方程F(x，y)＝0方程的解为坐标的点都在______________

那么方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做______________

2求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的直角坐标系；

(2)设动点M的坐标为(x，y)；

(3)把几何条件转化为________________表示，列出方程F(x，y)＝0；

(4)证明“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上”

3曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1C2的交点坐标即为方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F1?x，y?＝0,F2?x，y?＝0))的实数解

若此方程组________________，则两曲线无交点

【自我检测】

1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件()

(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线()

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2()

(4)方程y＝eq\r(x)与x＝y2表示同一曲线()

2若MN为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，则P点的轨迹是()

A圆B椭圆C双曲线 D抛物线

3已知点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，直线l：x＝eq\f(1,4)，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()

A双曲线B椭圆C圆 D抛物线

4过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程___

5(2024·北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；

②曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于eq\f(1,2)a2

其中，所有正确结论的序号是________

【合作探究】

【例1】如图所示，A(m，eq\r(3)m)和B(n，eq\r(3)n)两点分别在射线OS，OT上移动，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，O为坐标原点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))

(1)求mn的值；

(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

变式训练1已知⊙O的方程是x2＋y22＝0，⊙O′的方程是x2＋y28x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________

变式训练2如图所示，已知C为圆(x＋eq\r(2))2＋y2＝4的圆心，点A(eq\r(2)，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且eq\o(MQ,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))当点P在圆上运动时，

则点Q的轨迹方程____________

【例3】(2024·烟台)已知抛物线C的一个焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，对应于这个焦点的准线方程为x＝eq\f(1,2)

(1)过F点的直线与曲线C交于A，B两点(A点在B点上方)，O点为坐标原点，求△AOB的重心G的轨迹方程；

(2)点P是抛物线C上的动点，过点P作圆(x3)2＋y2＝2的切线，切点分别是M，N当