高二理科数学《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》人教版选修2-1.doc

空间向量及其运算（2）两课时

一、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式．

二、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．

三、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示；（讲解作业二十七）

练习：已知四面体P-ABC，，，，G为△ABC的重心，

（1）求证：（；（2）。（1）的逆命题成立吗？（见学案）

（二）新课讲解：

1、阅读课本P86～P87，（阅读提纲）：

⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？

⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷空间直线的向量表示式是什么？

⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？

⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？

2、新知识点

（1）．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．

推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对空间任一点，

点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，

其中向量叫做直线的方向向量。

在上取，则①式可化为或②

当时，点是线段的中点，此时③

①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段的中点公式．

（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；

（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A、B、P共线。

（有三种方式：，，）

例1．已知，，若，求实数的值。

例2．如图：ABCD-ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，

判断、是否共线？

例3．设是平面上不共线的向量，、

、，

若A、B、D三点共线，则k=。（-8）

思考：已知向量，且、、，则一定共线的三点是。（A、B、D）（注意：与的区别）

3．向量与平面平行：

已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，

那么我们说向量平行于平面，记作：．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．空间任意的三向量不一定是共面的

4．共面向量定理：

如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．

推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①，①式叫做平面的向量表达式．

（三）例题分析：

例4．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，

试判断：点与是否一定共面？

解：由题意：，∴，

∴，即，所以，点与共面．

【探究】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式

（其中）的四点是否共面？

解：∵，∴，

∴，∴点与点共面．

练习：（1）已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外一点O，给定的下列条件，点P与A、B、M是否共面？

（1）（2）

（2）（3）

补充作业．

1．已知分别是空间四边形边的中点，

（1）用向量法证明：四点共面；

（2）用向量法证明：平面．

2．已知两个非零向量不共线，如果，，，

求证：共面．

3．如图，分别为正方体的棱的中点，

求证：（1）四点共面；（2）平面平面．