空间向量的坐标运算.doc

?9.6空间向量的坐标运算

一、空间直角坐标系：

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为，这个基底叫做单位正交基底，常用表示。

在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以、、的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴。这时我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫做原点，向量、、都叫做坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面。

注意：

①作空间直角坐标系时，一般使（或），。

②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。说明右手直角坐标系的特点是：从到是逆时针方向。

③如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。

给定一个空间直角坐标系和向量，且设、、为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：存在唯一的有序实数组，使

有序实数组叫做向量在空间直角坐标系中的坐标，可简记作

在空间直角坐标系中，对空间任一点，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组、、，使

有序实数组叫做点的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标。

二、空间向量的直角坐标运算：

Ⅰ．设，，则

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥。

Ⅱ．若、，则

①的中点坐标是；

②。

说明：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

1、若，，且，则

（A） （B）

（C） （D）

2、点关于原点对称的点的坐标是__________。

3、设点，是点在坐标平面内的射影，则的坐标是__________。

4、已知为直角坐标原点，向量，，，，求。

5、若，。

①若，求实数的值；

②若，求实数的值。

6、如图，在正方体中，、分别是、的中点，求证：。

7、如图，在正方体中，、分别是、的中点，求证：平面。

三、夹角和距离公式：

Ⅰ．若，，则

①；

。

②

。

Ⅱ．若，，则

或

其中表示与两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。

1、在正方体中，、分别是、的中点，则直线与所成角的余弦值是

（A） （B）

（C） （D）

2、在棱长为的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于

（A） （B）

（C） （D）

3、如图，直棱柱的底面中，，，棱，、分别是、的中点。

①求；

②求证：；

③求与的夹角。

5、如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点。

①求异面直线与所成的角的余弦值；

②若点是棱上一点，且，求的值。

四、平面的法向量：

Ⅰ．平面法向量定义：

①如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作。

②如果，那么向量叫做平面的法向量。

Ⅱ．平面的方程：

①一般式：；

②截距式：。

Ⅲ．如何求平面的法向量：

方法一：利用平面方程求法向量。

若平面的方程是，则的一个法向量是。

方法二：利用平面内不共线二向量求法向量。

设、是平面内不共线二向量，的法向量是（或或或），根据即可得到。

方法三：利用向量的外积求法向量。

若、是内不共线二向量，则可取（其中二阶行列式）。

在如图所示的空间直角坐标系中，是正方体的棱的中点，在上，且，求平面的一个法向量的坐标。